Ein Beitrag zur Theorie der kommutativen Ringe ohne Endlichkeitsvoraussetzung. (Q1829467)

Ist \(\mathfrak{Z}\) eine algebraische Erweiterung erster Art beliebigen Grades über dem Grundkörper \(P\), weiter \(\varGamma\) ein Körper, der isomorph ist mit dem zu \(\mathfrak{Z}\) gehörigen Galoisschen Körper, und besitzen \(\mathfrak{Z}\) und \(\varGamma\) den Körper \(P\) als Durchschnitt, so kann man den Erweiterungsring \(\mathfrak{Z}\varGamma\) definieren, so daß jedes seiner Elemente auf eine und nur eine Weise als endliche Summe \(\sum\limits_{i=1}^n z_{\alpha i}\gamma_i\) darstellbar ist, wobei \(\gamma_i\). aus \(\varGamma\). Den Fall, daß \(\mathfrak{Z}\) eine endliche Erweiterung über \(P\) ist, hat \textit{E. Noether} (Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie; M. Z. 30 (1929), 641-692 (F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)), vgl. insbesondere S. 682 der Arbeit) behandelt. In der vorliegenden Arbeit wird die Struktur des Erweiterungsringes \(\mathfrak{Z}\varGamma\) unter der Voraussetzung untersucht, daß \(\mathfrak{Z}\) algebraische Erweiterung erster Art beliebigen, also auch unendlichen Grades von \(P\) ist. Für den unendlichen Fall werden die Einbettung des Ringes \(\mathfrak{Z}\varGamma\) in einen transzendent vollständig reduziblen Ring \(\mathfrak{Z}\varGamma^*\) (vgl. die Arbeit ``Abstrakte Theorie nichtkommutativer Ringe mit einer Anwendung auf die Darstellungstheorie kontinuierlicher Gruppen''; Math. Ann. 103 (1930), 545-572; F. d. M. 56\(_{\text{I}}\), 144), mit dem \(\mathfrak{Z}\varGamma\) bei endlichem Rang von \(\mathfrak{Z}\) über \(P\) zusammenfällt, und die Topologisierung der Menge der Primideale in \(\mathfrak{Z}\varGamma\) nach dem Vorbild von \textit{W. Krull} in seiner Galoisschen Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen (Math. Ann. 100 (1928), 687-698; F. d. M. 54, 157 (JFM 54.0157.*)-158) benützt. Die wesentlichsten Resultate der Arbeit sind: Jedes Ideal aus \(\mathfrak{Z}\varGamma\) ist Durchschnitt von Primidealen; zwei solche Durchschnitte sind dann und nur dann gleich, wenn die abgeschlossenen Hüllen der sie definierenden Mengen von Primidealen gleich sind. Die Primideale von \(\mathfrak{Z}\varGamma\) und \(\mathfrak{Z}\varGamma^*\) entsprechen einander eineindeutig. Jedes Ideal aus \(\mathfrak{Z}\varGamma\) ist Verengungsideal seines Erweiterungsideals in \(\mathfrak{Z}\varGamma^*\). Einem Unterring eines transzendent vollständig reduziblen Ringes ist \(\mathfrak{Z}\varGamma\) dann und nur dann isomorph, wenn \(\mathfrak{Z}\), wie angenommen, algebraische Erweiterung erster Art von \(P\) ist.