Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist. (Q1829468)

\textit{E. Noether} (M. Z. 30 (1929), 641-692; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)) hat vollständige Reduzibilität eines Ringes und Existenz der Haupteinheit unter der Voraussetzung bewiesen, daß der Ring die Minimalbedingung erfüllt und kein Radikal enthält. Verf. ändert diese Voraussetzungen folgendermaßen ab: (1) Der Ring \(\mathfrak{v}\) enthalte keine Rechtsnilideal, d. h. kein Rechtsideal, das aus nilpotenten Elementen besteht. (2) Jede Kette von Idealen \[ e_1\mathfrak{v} < e_1\mathfrak{v} + e_2\mathfrak{v} < \cdots, \] wobei \(e_ie_k = 0\) für \(i < k\), \(e_i^2 = e_i\) gilt, bricht nach endlich vielen Gliedern ab; \(e_i\mathfrak{v}\) ist minimal regulär, d. h. enthält kein echtes reguläres Unterideal. (Ein Ideal heißt regulär, wenn es mindestens ein nicht nilpotentes Element enthält.) (3) Jedes reguläre Rechtsideal enthält ein minimal reguläres Rechtsideal. Unter diesen drei Voraussetzungen gilt ebenso die vollständige Reduzibilität des Ringes und die Existenz der Haupteinheit. Sind in \(\mathfrak{v}\) nur die Bedingungen (2) und (3) erfüllt, so läßt sich \(\mathfrak{v}\) darstellen als direkte Summe von Rechtsidealen \[ \mathfrak{v} = \mathfrak{r}_1 + \mathfrak{r}_2 + \cdots + \mathfrak{r}_n + \mathfrak{s}, \] wo \(\mathfrak{r}_i\) minimal regulär und \(\mathfrak{s}\) Nilideal ist. Unter einem ``Radikal'' versteht Verf. in Erweiterung des Begriffes das einzige maximale Nilideal, das alle rechtsseitigen und linksseitigen Nilideale umfaßt. Es zeigt sich nun, daß die Bedingungen (2), (3) gleichwertig sind mit der Existenz des Radikals und mit der vollständigen Reduzibilität des Restklassenringes nach dem Radikal \(\mathfrak{c}\). Hat man nun eine Darstellung von \(\dfrac{\mathfrak{v}}{\mathfrak{c}}\), so kann man \(\mathfrak{v}\) als direkte Summe von primären Ringen mit Haupteinheit und einer additiven Gruppe mit Elementen aus \(\mathfrak{c}\) darstellen. (Ein Ring heißt primär, wenn er kein von \(\mathfrak{v}\) verschiedenes reguläres zweiseitiges Ideal enthält.) Die primären Ringe, die die Bedingungen (2) und (3) erfüllen und eine Haupteinheit haben, also auch die direkten Summanden der Darstellung von \(\mathfrak{v}\), sind ringisomorph einem Matrizenring in einem vollständig primären Ring \(\mathfrak{t}\leqq\mathfrak{v}\), d. h. in einem Ring \(\mathfrak{t}\), der kein von \(\mathfrak{t}\) verschiedenes reguläres Rechtsideal enthält, der mit dem Automorphismenring der direkt unzerlegbaren Rechtsideale von \(\mathfrak{v}\) isomorph ist. Für die Beweise sind einige Einzelresultate über idempotente Elemente in regulären Idealen wichtig.