Studies in the theory of numbers. (Q1829530)

Das Buch ist der arithmetischen Theorie der quadratischen Formen hauptsächlich in drei und vier Veränderlichen gewidmet. Der erste Abschnitt, der mit den elementarsten Eigenschaften der quadratischen Formen beginnt, führt sehr bald zu tiefer gelegenen Resultaten über ganzzahlige indefinite ternäre Formen. Verf. nennt eine Form universell, wenn sie jede ganze Zahl darstellt (für ganzzahlige Werte der Veränderlichen), und eine Nullform, wenn sie die Null darstellt für ganzzahlige Werte der Veränderlichen, die nicht sämtlich verschwinden. Er zeigt dann, daß jede universelle indefinite ternäre quadratische Form eine Nullform ist. Es folgt die Ableitung des Gaußschen Satzes, der besagt, daß die Bestimmung aller Darstellungen einer ganzen Zahl durch eine ternäre Form zurückgeführt werden kann auf die Bestimmung aller Darstellungen einer binären Form durch die Reziproke der ternären Form, ferner eine revidierte und auf verhältnismäßig wenig Voraussetzungen beschränkte Darstellung des Meyerschen Beweises für die Äquivalenz zweier indefiniten ternären Formen. Hieran schließt sich ein Kapitel über die Geschlechter binärer und ternärer Formen, sowie über den Gaußschen Satz von der Duplikation der Klassen binärer Formen. Das letzte Kapitel des ersten Abschnitts enthält neben einem vollständigen Beweis des Satzes, daß jede indefinite quadratische Form in \(n\) Veränderlichen für \(n \ge 5\) eine Nullform ist, eine kritische Betrachtung der von Meyer angegebenen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung \[ ax^2 + by^2 + cz^2 + du^2 = 0. \] Für diesen Meyerschen Satz hat übrigens gleichzeitig mit dem Verf. einen sehr einfachen Beweis \textit{L. J. Mordell} gegeben [J. Reine Angew. Math. 164, 40--49 (1931; JFM 57.0189.03; Zbl 0001.12001)], dessen neuere Untersuchungen über quadratische Formen in mancher Hinsicht eine wertvolle Ergänzung des vorliegenden Buches darstellen. Der zweite Abschnitt bringt einen Abriß der Theorie der Minima von reellen indefiniten quadratischen Formen in zwei, drei und vier Veränderlichen. Die meisten Resultate über binäre und ternäre Formen gehen auf Markoff zurück, der u. a. die ersten drei Minima der ternären Formen angab. Die neuen Untersuchungen des Verf. liefern außer diesen drei Minima zugleich das vierte Minimum. Ferner wird gezeigt, daß das fünfte Minimum einer ternären Form vom vierten weiter entfernt ist als dieses vom dritten. Neu sind auch die hier zum erstenmal veröffentlichten Untersuchungen Oppenheims über die Minima quaternärer Formen sowie über Formen ohne Minima. Den Abschluß des zweiten Abschnitts bildet eine Tabelle der reduzierten ganzzahligen indefiniten ternären quadratischen Formen, die keine Nullformen sind, und deren Diskriminante \(d < 83\) ist \((d \ne 68, 81)\). Der dritte Abschnitt ist von den beiden ersten unabhängig; er enthält eine ausführliche Darstellung der Reduktionsmethoden von Seeber und Dirichlet für definite ternäre Formen, sowie eine Tabelle der reduzierten definiten ternären Formen mit einer Diskriminante \(\le 50\). Sodann folgt die Bestimmung aller universellen Nullformen. Das Buch schließt mit einem ausgezeichneten Exkurs über die analytischen Methoden von Hardy und Mordell zur Bestimmung der Anzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl als Summe von fünf, sechs, sieben und acht Quadraten. Verf. hat gegenüber dem Werke von Bachmann auf viele wichtige Sätze aus der Theorie der ternären quadratischen Formen verzichtet, dafür aber zahlreiche Originaluntersuchungen, z. T. mit Unterstützung von A. Oppenheim, G. Pall und A. Ross, hineingearbeitet. Vor allem aber sind sämtliche übernommenen Sätze und Beweise auf ihre Richtigkeit und Stichhaltigkeit hin überprüft worden. Diese Revisionen bedingten oft sehr weitgehende Änderungen der ursprünglichen Resultate und Beweise. Die Durchführung dieser gewiß nicht leichten Aufgabe macht das Buch zu einer ebenso modernen wie zuverlässigen Monographie für die arithmetische Theorie der ternären und quaternären quadratischen Formen. Weitere Besprechung: L. J. Mordell; Math. Gazette 15 (1931), 361-362.