Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper. (Q1829604)

Ist \(K/k\) Klassenkörper der Idealgruppe \(H\) mit dem Führer \(\mathfrak f\), durchläuft \(\chi \) alle Charaktere der Klassengruppe \(J/H\), und ist (für jedes \(\chi \)) \(\mathfrak f(\chi )\) der Führer der Idealgruppe \(\{\mathfrak j\}\) mit \(\chi (\mathfrak j)=1\), so ist \(\mathfrak f\) das kleinste gemeinsame Vielfache der \({\mathfrak f} (\chi)\), wie sofort folgt; dagegen gilt für die Diskriminante \[ {\mathfrak d}(K/k)=\prod _\chi {\mathfrak f}(\chi), \] was bisher nur mit Hilfe der Funktionalgleichung der \textit{Hecke}schen \(L\)-Reihen bewiesen werden konnte. Hier wird ein rein arithmetischer Beweis gebracht, gesondert nach den Beiträgen der einzelnen Primideale zu \(\mathfrak f\) und \(\mathfrak d\). Kompliziert liegen die Verhältnisse erst für die Primteiler, die gleichzeitig noch im Grad von \(K/k\) aufgehen. Dort wird eine eingehendere Untersuchung der höheren Verzweigungen und ihrer Verlagerung bei Abänderung der Relativkörper \(K'/k'\) im Rahmen \(k\leqq k' < K' \leqq K\) nötig. -Schließlich folgt noch aus der Diskriminantenformel, daß für jedes Primideal aus \(K\) in der Verzweigungskörperreihe \[ \ldots K_{v_{\nu -1}}<K_{v_{\nu -1}+1}=\cdots =K_{v_{\nu}-1}= K_{v_\nu}<K_{v_\nu +1}\ldots \] zwei aufeinanderfolgende Verzweigungszahlen \(v_{\nu -1}, v_\nu\) nach dem Relativgrad von \(K_{v_{\nu-1}}\) über dem Trägheitskörper kongruent sind.