Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage. (Q1829607)

Die Klassenkörpertheorie bestätigt die \textit{Dedekind}sche Vermutung, daß in einem kubischen Körper mit der Diskriminante \(D\) \((\neq q^2)\) diejenigen Primzahlen voll zerfallen, die sich in einer bestimmten Untergruppe vom Index 3 der quadratischen Formen der Diskriminante \(D\) darstellen lassen. Ausschlaggebend ist, daß der Normalkörper des kubischen Körpers Ringklassenkörper über \(P (\sqrt{D})\) ist -- was in der Takagischen C. R.-Note [\textit{T. Takagi}, C. R. 171, 1202--1205 (1920; JFM 47.0147.02)] schon durchgeführt ist -- und daß \(D = df^2\) zugleich Diskriminante des kubischen Körpers als der quadratischen Ordnung \[ \biggl[1, \dfrac{\varepsilon+\sqrt D}{2}\biggr] \] mit dem Führer \(f\) und der Körperdiskriminante \(d\) ist. Die Anzahl der kubischen Körper mit der Diskriminante \(D= df^2\) bestimmt sich dann als Anzahl der Ringklassenuntergruppen vom Index 3 der Diskriminante \(D\), die wirklich \(f\) als Führer haben.