The representation of a number as the sum of one square and a number of \(k\)-th powers. (Q1829634)

Verf. untersucht die Darstellungen einer ganzen Zahl \(n >0\) in der Form: \[ n = x_0^2+x_1^k+\cdots x_s^k\tag{*} \] mit ganzem \(x_0\) und positiven ganzen \(x_1, \ldots, x_s\) bei ganzem \(s\geqq 0\) und \(k > 2\), und insbesondere bei gegebenem \(k > 2\) den kleinsten Wert \(G (k)\) von \(s\), für den (*) für genügend großes \(n\) in den \(x_0, x_1, \ldots, x_s\) lösbar ist. Dabei ergeben sich von \(k\) abhängende Schranken für \(G (k)\), die den von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} beim \textit{Waring}schen Problem für eine analoge Funktion gegebenen Schranken ähnlich sind. Die Durchführung der Untersuchung schließt sich unmittelbar an an die \textit{Hardy-Littlewood}sche Methode (vgl. etwa \textit{Landau}, Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd. I (.1927; F. d. M. 53, 123 (JFM 53.0123.*)-124), S. 237 und folgende). Ferner benutzt Verf. ein Ergebnis aus der \textit{Kloosterman}schen Dissertation (1924; F. d. M. 50, 95 (JFM 50.0095.*)).