On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude. (Q1829644)

\(\varphi(\alpha,x)\) sei die Anzahl der positiven ganzen Zahlen \(t\leqq x\), die einen Primteiler \(>t^\alpha\) (\(\alpha\) reell, \(0\leqq \alpha<1\)) besitzen. Durch den Grenzwert \[ f(\alpha)=\lim_{x\to\infty }\frac{\varphi(\alpha,x)}{x} \] wird die Wahrscheinlichkeit definiert, daß der größte Primteiler einer Zahl \(t\) größer als \(t^\alpha\) ausfällt. Verf. gewinnt zunächst für \({\frac{1}{2}}\leqq \alpha<1\) das Resultat \[ f\,(\alpha)=\int\limits_{\alpha}^{1}\frac{dy}{y}= \log\frac{1}{\alpha}, \] dann durch Induktionsschluß (wobei für \(\dfrac{1}{n+1}\leqq \alpha< \frac{1}{n}\) und \(n>1\)\ \ \(f(\alpha)\) durch \(f_n(\alpha)\) ersetzt wird) die Beziehung \[ f_n(\alpha)=f_{n-1}{ \fracwithdelims(){1}{n}}+ \int\limits_{\alpha}^{\tfrac{1}{n}}\frac{1}{y} \Bigl\{1-f_{n-1}{\fracwithdelims(){y}{1-y}}\Bigr\}\,dy, \] wobei \[ \frac{1}{n+1}\leqq \alpha\leqq y\leqq \frac{1}{n}\leqq \frac{\alpha}{1-\alpha}\leqq \frac{y}{1-y}\leqq \frac{1}{n-1} \] ist. Der Verlauf der Funktion \(f(\alpha)\) wird graphisch wiedergegeben, und außerdem werden gewisse Abschätzungen rechnerisch durchgeführt, darunter die folgende: Bringt man den größten Primteiler \(p\) der Zahl \(t\) auf die Form \(p = t^y\), so ergibt sich als Durchschnittswert für \(y\) ein Wert in der Nähe von 0,\,6243\,3000. Schließlich wird noch die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zahl \(t\) einen Primteiler zwischen \(t^\alpha\) und \(t^\beta\) hat, wobei \(0<\alpha<\beta\leqq 1\) ist, näher untersucht.