Mathematische Miszellen. XVI: Zur Theorie der linearen diophantischen Approximationen. (Q1829650)

Verf. gibt einen neuen Beweis der folgenden, von ihm selbst (1927; F. d. M. 53, 165) entdeckten Verallgemeinerung eines \textit{Hecke}schen Satzes: (1) \(\alpha\) sei eine reelle Irrationalität, \(n > 0\) und ganz, \(R(n\alpha)\) der reduzierte Wert von \(n\alpha\) mod 1, also \(0\leqq R(n\alpha)<1\) und \(n\alpha-R(n\alpha)\) ganz und \(I\) ein Teilintervall des Intervalls \(<0, 1)\) von der Länge \(J\), ferner sei \(N(I, x)\) mit \(x>1\) die Anzahl der in \(I\) gelegenen Zahlen aus der Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad\quad(A)} \hfill R(\alpha),R(2\alpha),\dots,R(x\alpha). \hfill} \] Dann ist, wenn \(I\) mit ganzem \(\nu\gtrless\) die Länge \(R(\nu\alpha)\) hat: \[ |\,N\,(I,x)-Jx\,|<|\,\nu\,|. \] Beim Beweis von (1) wird folgender Satz benutzt: (2) Bei beliebigem \(\zeta>0\) und ganzem \(x>0\) enthält entweder jedes Intervall \(I\) von der Länge \(\zeta\) genau \(\zeta x\) Zahlen aus der Reihe (A), oder es gibt ein Intervall, in dem mehr als \(\zeta x\) Zahlen (A) liegen, und eines, in dem weniger als \(\zeta x\) Zahlen (A) liegen. Verf. benutzt (2), um auf neue Art einen von ihm selbst und \textit{Hecke} (1921; F. d. M. 48, 184 (JFM 48.0184.*)-186) herrührenden Satz zu beweisen. Ferner gibt Verf. genauere Abschätzungen für die obere Grenze der Größen \[ |\,N\,(I,k)-Jk\,| \] (für irgendein \(x\geqq 1\)) für alle ganzen \(k\) mit \(0<k\leqq x\) und für alle \(I\), die mod 1 Teilintervalle von \(<0, 1)\) sind, als Funktion von \(x\). Zum Schluß wird eine Verallgemeinerung der Untersuchungen auf den mehrdimensionalen Fall angekündigt.