Sur la notion de la moyenne. (Q1829679)

Verf. stellt sich die Aufgabe, für die üblichen elementaren Mittelbildungen (z. B. arithmetisches, geometrisches, harmonisches, quadratisches Mittel) eine zusammenfassende Definition zu geben. Er bezeichnet das Mittel von \(x_1,x_2,\dots,x_n\) durch \(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) und fordert, daß es folgende vier Eigenschaften besitzt: {\parindent=7mm \begin{itemize}\item[(1)]\(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) ist stetig und für jede Variable \(x_i\) einzeln wachsend. \item[(2)]\(M(x_1,x_2,\dots,x_n)\) ist symmetrisch. \item[(3)]\(M(x,x,\dots,x) = x\). \item[(4)]\(M(x_1,x_2,\dots,x_m,y_1,y_2,\dots,y_n)=M(x,x,\dots x,y_1,y_2, \dots,y_n)\), wobei \(x=M(x_1,x_2,\dots x_m)\). \end{itemize}} Verf. beweist, daß jede diesen vier Eigenschaften genügende Mittelbildung von der Form \[ M(x_1,x_2,\dots,x_n) = \psi \left\{ \frac{\varphi(x_1)+\varphi(x_2) +\cdots+\varphi(x_n)}{n} \right\} \] ist, wobei \(\varphi(x)\) eine stetige wachsende Funktion und \(\psi(x)\) die Umkehrungsfunktion von \(\varphi(x)\) bedeutet. Vgl. die Arbeit von \textit{E. V. Huntington} (1927; F.d.M. 53, 69 (JFM 53.0069.*)-70), in der jede der vier elementaren Mittelbildungen einzeln durch charakteristische Eigenschaften definiert ist, und die dort zitierte Arbeit von \textit{R. Schimmack} (1909; F.d.M. 40, 285 (JFM 40.0285.*)).