Über die Vorzeichenverteilung in unendlichen Reihen. (Q1829685)

Beweis des folgenden Satzes: Ist \(\sum d_{\nu}\) eine divergente Reihe mit positiven, nach Null strebenden Gliedern, so gibt es eine gleichmäßige Vorzeichenverteilung \(\left\{\varepsilon_{\nu}\right\}\), \(\varepsilon_{\nu}= \pm 1\), für welche die Folge der Partialsummen der Reihe \(\sum \varepsilon_{\nu} d_{\nu}\) beliebig vorgeschriebene (endliche oder unendliche) Hauptlimites besitzt. Dabei heißt eine Vorzeichenverteilung \(\left\{\varepsilon_{\nu}\right\}\) gleichmäßig, wenn positive und negative Vorzeichen in ihr gleich häufig vorkommen, d. h. wenn \[ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{\nu=1}^n \varepsilon_{\nu} = 0 \] ist. Verf. bemerkt in einer Fußnote, daß er den vorliegenden Satz im Jahre 1923 auf eine Anregung von \textit{H. Steinhaus} bewiesen und in einer Sitzung des von \textit{H. Steinhaus} damals gemeinsam mit \textit{S. Banach} und \textit{S. Ruziewicz} geleiteten Seminars vorgetragen habe.