Sur la notion de convergence des séries doubles. (Q1829694)

Bei einer Doppelreihe \(\displaystyle \sum_{\mu,\nu}^{0\cdots\infty} a_{\mu\nu}\) unterscheidet man bekanntlich neben der Konvergenz im \textit{Pringsheim}schen Sinne folgende spezielle Arten der Konvergenz: Die Konvergenz nach Diagonalen, nach Zeilen und nach Spalten. Wenn die Reihe nach allen diesen drei speziellen Arten zum selben Grenzwert konvergiert, so braucht sie darum bekanntlich noch nicht im \textit{Pringsheim}schen Sinne konvergent zu sein. In der vorliegenden Note definiert Verf. nun die ``Konvergenz in der Richtung \((\alpha,\beta)\)'', indem er, von zwei gegebenen reellen, nicht negativen Zahlen \(\alpha,\beta\) mit der Quadratsumme Eins ausgehend, die Reihe \[ \sum_{\lambda}\left( \sum_{\mu,\nu} a_{\mu\nu}\right) \] betrachtet, wobei \(\mu\) und \(\nu\) alle der Gleichung \(\alpha\mu+\beta\nu = \lambda\) genügenden Indizespaare und \(\lambda\) alle in dieser Form darstellbaren positiven Zahlen durchlaufen. Verf. zeigt nun an einem Beispiele, daß die Reihe auch dann nicht im \textit{Pringsheim}schen Sinne konvergent zu sein braucht, wenn sie in \textit{jeder} Richtung \((\alpha,\beta)\) gegen denselben Grenzwert konvergiert.