Sur les transformations linéaires des suites doubles et multiples. (Q1829695)

Gegeben sei eine Doppelfolge \(s_{\mu\nu}\)\ (\(\mu, \nu = 0,1,2,\ldots\)), die durch eine Doppelfolge von Matrizen \[ \begin{pmatrix} c_{\mu\nu}^{00} & c_{\mu\nu}^{10} & \cdots & c_{\mu\nu}^{\mu 0} \\ & & & \\ c_{\mu\nu}^{01} & c_{\mu\nu}^{11} & \cdots & c_{\mu\nu}^{\mu 1} \\ \hdotsfor4 \\ & & & \\ c_{\mu\nu}^{0\nu} & c_{\mu\nu}^{1\nu} & \cdots & c_{\mu\nu}^{\mu\nu} \end{pmatrix} \qquad (\mu, \nu = 0,1,2,\ldots) \] in die Doppelfolge \[ \sigma_{\mu\nu} = \sum_{i=0}^{\mu} \sum_{j=0}^{\nu} c_{\mu\nu}^{ij} s_{ij} \qquad (\mu, \nu = 0,1,2,\ldots) \] übergeführt wird. In Übertragung der bekannten Untersuchungen von \textit{Toeplitz} (F. d. M. 44, 281 (JFM 44.0281.*)-282), \textit{Kojima} (F. d. M. 46, 324 (JFM 46.0324.*)-325) und \textit{I. Schur} (F. d. M. 47, 197 (JFM 47.0197.*)) für einfache Folgen stellt Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen dafür auf, daß die Transformation (1) konvergenzerhaltend oder regulär, d. h. limeserhaltend, ist. Wie Verf. in einer Fußnote bemerkt, war ihm bei Abfassung der vorliegenden Arbeit die den gleichen Gegenstand behandelnde und im wesentlichen zu denselben Ergebnissen gelangende Arbeit von \textit{Kojima} (F. d. M. 48, 234 (JFM 48.0234.*)-235) nicht bekannt.