Sur les séries de Dirichlet doubles. (Q1829713)

Es werden die Konvergenzeigenschaften der zweifachen \textit{Dirichlet}schen Reihen \[ \sum a_{\mu\nu }e^{-p_\mu x-q_\nu y}\tag{1} \] untersucht. Dabei sollen \((p_\mu )\) und \((q_\nu )\) monoton gegen \(+\infty \) wachsende reelle Zahlen, \(x\) und \(y\) zwei komplexe Variable und die \(a_{\mu\nu }\) m beliebige komplexe Koeffizienten sein. Die Reihe heiße in \((x, y)\) beschränkt, falls es die Doppelfolge ihrer Teilsummen ist; Konvergenz werde im \textit{Pringsheim}schen Sinne verstanden. Das Ziel der Arbeit ist, die Menge \(C\) der Konvergenzpunkte \((x, y)\) im Raum zweier komplexer Variabler zu untersuchen. Wird mit \(C'\) diejenige Teilmenge von \(C\) bezeichnet, für deren Punkte die Reihe beschränkt ist, mit \(C''\) der Rest, so ergibt sich als wichtigstes Resultat, daß \(C''\) keine inneren Punkte besitzt, während \(C'\) stets innere Punkte hat (wofern es nicht leer ist). Das größte in \(C'\) enthaltene Gebiet ist konvex. Im einzelnen werden u. a. die folgenden Sätze bewiesen: 1. Ist (1) in \((x_0,y_0)\) beschränkt, so ist (1) konvergent und beschränkt in jedem Punkte \((x, y)\) mit \[ \mathfrak Rx>\mathfrak Rx_0=\xi _0,\quad \mathfrak Ry>\mathfrak Ry_0=\eta _0.\tag{2} \] 2. Wenn (1) in einem Gebiet konvergiert, so ist (1) an jeder Stelle desselben beschränkt. 3. Wenn \(\xi _0>0\) und \(\eta _0>0\) und \[ \operatornamewithlimits{lim \;sup}_{\mu +\nu \to +\infty }\;\frac {\log |A_{\mu\nu }|}{p_\mu \xi _0+q_\nu \eta _0} \leqq 1\tag{3} \] ist, so ist (1) konvergent und beschränkt in jedem Punkte \((x, y)\) von (2). (\(A_{\mu\nu }=\sum a_{mn}\) mit \(m\leqq \mu\), \(n\leqq \nu \).) 4. Wenn \(\xi _0>0\) und \(\eta _0>0\) ist, und (1) für die Punkte (2) konvergiert, so gilt (3). 5. Die positiven Zahlen \(\xi _0\), \(\eta _0\) sind dann und nur dann zusammengehörige Konvergenzabszissen (d. h. solche, für die (1) in jedem Punkte \((x,y)\) von (2) konvergiert, aber nicht mehr, falls \(\xi _0\) oder \(\eta _0\) durch eine kleinere Zahl ersetzt wird), wenn bei (3) das Gleichheitszeichen gilt. Auch auf absolute und bedingte Konvergenz wird eingegangen.