Question 784. Lösung von A. A. Krishnaswamy Aiyangar. (Q1829729)

Die Aufgabe lautet: Es sei \(F(x)=x-[x]\) und \(N\) eine natürliche Zahl. Man beweise die folgenden Beziehungen: \begin{align*} \liminf_{N\to \infty } NF(N\sqrt 2)& =\frac {1}{2\sqrt 2}, \\ \liminf_{N\to \infty } NF(N\sqrt 3)& =\frac {1}{\sqrt 3},\\ \liminf_{N\to \infty } NF(N\sqrt 5)& =\frac {1}{2\sqrt 5},\\ \liminf_{N\to \infty } NF(N\sqrt 6)& =\frac {1}{\sqrt 6},\\ \liminf_{N\to \infty } NF(N\sqrt 7)& =\frac {3}{2\sqrt 7}, \\ \liminf_{N\to \infty } N(\log N)^{1-p} F\Bigl(Ne^{\frac {2}{n}}\Bigr)&=0 \end{align*} mit \(n\) ganz und \(p\) positiv.