Concerning the upper and lower limits of certain integrals whose integrands are functions of a parameter. (Q1829763)

Einige bekannte Summationsmethoden beruhen darauf, daß für die Funktion \[ \varPhi(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n\varphi (n,t) \] aus \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n=0\) \[ \lim _{t\to +0} \varPhi(t)=0 \] folgt. In wichtigen Spezialfällen (Summierbarkeit nach \textit{Abel}, \textit{Lambert}, \textit{Riesz}) ist \(\varphi(n,t)\) eine Funktion von \(nt\) allein. Verf. betrachtet hier das analoge Problem für Integrale, indem er unter Beschränkung auf diesen Spezialfall den folgenden Satz beweist: Wenn \(\int\limits_0^\infty f(x)\,dx= 0\) ist, \(\int\limits_0^\infty |f(x)|\,dx \) existiert und \(|\varphi(y)|\) für \(y > 0\) beschränkt ist, dann gilt \[ \liminf_{t\to \infty}\int\limits_0^\infty f(x)\varphi(xt)\,dt \leqq 0,\quad \limsup_{t\to \infty}\int\limits_0^\infty f(x) \varphi(xt)\,dt \geqq 0. \]