A theorem on conjugate functions. (Q1829793)

\textit{M. Riesz} hat [Math. Z. 27, 218--244 (1927; JFM 53.0259.02)] den Satz bewiesen, daß, wenn \(f(x)\) eine Funktion von der Lebesgueschen Klasse \(L^p\) (\(p > 1\)) ist, die konjugierte Funktion \(g(x)\) auch zu der Klasse \(L^p\) gehört und \[ \int_0^{2\pi}|g(x)|^p\,dx < K\int_0^{2\pi} |f(x)|^p\,dx \] ist, wobei \(K\) nur von \(p\) abhängt. Verf. beweist den allgemeineren Satz: Es sei \[ \log' x - \log x\text{ für }x\ge e\text{ und }\log' x =1\text{ für }x < e. \] Ferner sei \(p > 1\) und \(q\) eine reelle positive oder negative Zahl. Dann zieht die Existenz des Integrales \[ \int_0^{2\pi}|f|^p(\log'|f|)^q\,dx \] die Existenz des Integrales \[ \int_0^{2\pi}|g|^p(\log'|g|)^q\,dx \] nach sich.