Sur une inégalité intégrale. (Q1829794)

Auszug aus einem Briefe des Verf. an \textit{G. H. Hardy.} Eine von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (1928; F. d. M. 54, 226 (JFM 54.0226.*)) sowie von \textit{R. M. Gabriel} (1928; F. d. M. 54, 103 (JFM 54.0103.*)) für eine gewisse Summe aus drei endlichen Systemen von nicht negativen Zahlen hergeleitete Ungleichung wird von Verf. auf Integrale übertragen: Es seien \(f(x)\), \(g (x)\), \(h(x)\) für alle \(x\) aus \(-\infty<x<+\infty\) definierte, nicht negative Funktionen, und es sollen die drei Mengen \[ \mathfrak M(f\geqq y),\quad \mathfrak M(g\geqq y),\quad \mathfrak M(h\geqq y) \] für jedes positive \(y\) ein endliches Maß haben; dabei bezeichnet \(\mathfrak M(f\geqq y)\) die Menge derjenigen Werte \(x\), für die \(f(x)\geqq y\) ist. \(f^*(x)\) bedeute eine gerade, für \(x\leqq 0\) nicht abnehmende, für \(x\geqq 0\) nicht zunehmende Funktion, die ferner so beschaffen ist, daß die beiden Mengen \[ \mathfrak M(f\geqq y),\;\mathfrak M(f^*\geqq y) \] für jedes positive \(y\) gleiches Maß haben. Durch diese Vorschriften ist \(f^*(x)\) eindeutig definiert bis auf ihre Unstetigkeitspunkte, d. h. bis auf eine abzählbare Menge; denn für jedes \(x\geqq0\) ist \(2\;f^* (x)\) die Umkehrung der Funktion, die das Maß der Menge \(\mathfrak M(f\geqq y)\) angibt, und für \(x\leqq 0\) ergibt sich dann \(f^*\) auf Grund der Forderung der Geradheit. Ebenso werden die Funktionen \(g^*(x)\) und \(h^*(x)\) zu \(g(x)\) und \(h(x)\) definiert. Wird dann \[ I= \iint\limits_{-\infty}^{\hskip1em\infty}f(x+y)g(x)h(y)dxdy,\qquad I^* =\iint\limits_{-\infty}^{\hskip1em\infty}f^*(x+ y)g^*(x)h^*(y)dxdy \] gesetzt, so lautet die Übertragung der \textit{Hardy-Littlewood}schen Ungleichung: \[ I\leqq I^*. \]