Sur les images de Baire des ensembles linéaires. (Q1829799)

Bekanntlich versteht man unter den Funktionen der \textit{Baire}schen Klasse Null einer gegebenen linearen Menge \(E\) die auf \(E\) stetigen Funktionen, unter den Funktionen der Klasse \(\leqq\alpha\) auf \(E\) diejenigen, die auf \(E\) Grenzfunktionen von Funktionen der Klassen \(<\alpha\) auf \(E\) sind. Ist \(f\) eine Funktion der Klasse \(\leqq\alpha\) auf \(E\), so bezeichnet Verf. das Bild \(f(E)\) als ``das Bild der Klasse \(\leqq\alpha\) der Menge \(E\)'' (das durch Vermittlung der Abbildungsfunktion \(f\) entstanden ist). Ferner bezeichnet Verf. mit \(\varGamma_{\alpha} (E)\) die Familie aller linearen Mengen, die Bilder der Klasse \(\leqq\alpha\) von \(E\) sind. Es wird nun der folgende Satz bewiesen: Für jede lineare analytische Menge \(E\) gilt die Beziehung \[ \varGamma_{\alpha}(E) = \varGamma_1(E) \] für jede positive Ordinalzahl \(\alpha< \varOmega\). Beim Beweis wird der folgende Hilfssatz benutzt: Ist \(E\) höchstens abzählbar, so ist jede auf \(E\) definierte Funktion auf \(E\) höchstens von der Klasse Eins.