Über die Erweiterung einer Baireschen Funktion. (Q1829801)

Das weitestgehende Resultat über Erweiterung einer auf einer Menge \(M\) gegebenen \textit{Baire}schen Funktion \(\alpha\)-ter Klasse zu einer Funktion \(\alpha\)-ter Klasse des Gesamtraumes hatte \textit{F. Hausdorff} (1919; F. d. M. 47, 240) erzielt: bei ihm war \(M\) als Menge \(\mathfrak D_{\alpha+1}\) vorausgesetzt. Verf. legt nun seiner Betrachtung statt der \textit{Baire}schen die \textit{Young}sche bzw. \textit{Sierpiński}sche Klassifikation der Funktionen zugrunde (d. h. die Klassifikation mittels monotoner bzw. absolut konvergenter Folgen) und beweist hierfür einen Erweiterungssatz, bei dem überhaupt keine Voraussetzungen gemacht werden. Der Beweis verläuft äußerst einfach, indem zunächst die halbstetigen Funktionen erweitert werden und dann transfinite Induktion angewendet wird. Für die \textit{Baire}sche Klassifikation bedeutet der Satz, daß eine auf der beliebigen Menge \(M\) gegebene Funktion \(\alpha\)-ter Klasse auf den Gesamtraum zu einer Funktion höchstens \((\alpha+1)\)-ter Klasse oder, falls man nur endliche Werte zuläßt, zu einer Funktion höchstens \((\alpha+2)\)-ter Klasse erweitert werden kann. Darüber hinaus hat später \textit{W. Sierpiński} (vgl. das folgende Referat) auf andere Weise zeigen können, daß auch bei Beschränkung auf endliche Funktionen die Erweiterung zu einer Funktion höchstens \((\alpha+1)\)-ter \textit{Baire}scher Klasse stets möglich ist.