Sur les suites des fonctions presque partout continues. (Q1829805)

Beweis des folgenden Satzes: Die Funktion \(F(x)\) ist dann und nur dann darstellbar als Grenzfunktion einer Folge auf \(\langle a, b\rangle\) fast überall stetiger Funktionen \(f_n(x)\), wenn zwei Funktionen \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) mit folgenden Eigenschaften existieren: (1) \(\varphi(x)\) ist, in der \textit{Young}schen Klassifikation, höchstens vom Typ \((g_2)\), \(\psi(x)\) höchstens vom Typ \((G_2)\) (unter Benutzung der Bezeichnungen von \textit{H. Hahn} [Theorie der reellen Funktionen (1921; JFM 48.0261.09), S. 328, 334]; (2) überall auf \(\langle a,b\rangle\) gilt die Ungleichung \[ \varphi(x)\leqq F(x)\le \psi(x); \] (3) fast überall auf \(\langle a, b\rangle\) gilt \[ \varphi(x) = F(x) = \psi(x). \]