The convergence of singular integrals. (Q1829845)

Verf. beweist den folgenden Konvergenzsatz: Ist \(\varphi (t)\) absolut integrierbar in \((0, \infty)\) und \[ \int_0^\infty \varphi (t) \, dt \neq 0, \] ist \(f(t)\) für \(0 \leqq t \leqq \eta\) definiert und beschränkt, ist ferner \[ \lim_{t \to 0} \frac 1t \int_0^t f(u) \;du = l \] und schließlich \(0 < \xi \leqq \eta \), dann gilt \[ \lim_{n \to \infty} \frac {n \int_0^\xi \varphi(nt) f(t) \, dt}{\int_0^\infty \varphi (t) \;dt} = l. \] Das betrachtete Integral kann als Verallgemeinerung eines in der Theorie der \((C, \delta)\)-Summierbarkeit \textit{Fourier}scher Reihen auftretenden Integrals angesehen werden. Dort gilt, wenn \(F (t)\) geeigneten Bedingungen genügt, \[ \lim_{\omega \to \infty} \frac{\omega \int_0^\eta F(t) \gamma_{1+\delta} (\omega t)\;dt}{\int_0^\infty \gamma_{1 + \delta} (t)\;dt} = \lim_{t \to 0} \frac 1t \int_0^t F(t)\;dt \] mit \[ \gamma_{1 + \delta} (t) = \int_0^1 (1 - u)^\delta \cos \;tu\;du. \] Verf. erhält außerdem zwei weitere Systeme von hinreichenden Bedingungen für den obigen Satz. (IV 3 C.)