On the convergence of lacunary trigonometric series. (Q1829849)

Unter einer trigonometrischen Lückenreihe wird eine Reihe der Form \[ \sum_k (a_k \cos n_k \vartheta + b_k \sin n_k \vartheta) \tag{1} \] verstanden, falls \(n_1 < n_2 < \dots\) natürliche Zahlen sind, für die \[ \frac{n_{k+1}}{n_k} > q > 1 \] bleibt. Es ergibt sich leicht: Wenn (1) eine \textit{Fourier-Lebesgue}sche, (kurz FL-) Reihe ist, speziell also wenn \[ \sum_k (a_k^2 + b_k^2) \tag{2} \] konvergiert, so konvergiert (1) fast überall. Darüber hinaus hatte Verf. (vgl. die vorstehende Besprechung) bewiesen: A. Wenn (1) eine FL-Reihe ist, so ist (2) konvergent. Jetzt beweist Verf. den folgenden Satz, von dem A eine leichte Folge ist: B. Wenn (1) in einer Punktmenge positiven Maßes konvergiert, so konvergiert (2). [(1) ist also dann und nur dann fast überall konvergent, wenn (2) konvergiert.] Im Anschluß hieran werden noch die folgenden Sätze bewiesen: C. Wenn (1) die \textit{Fourier}reihe einer stetigen Funktion \(F\) ist, die auf einer Menge positiven Maßes eine endliche Ableitung besitzt, so ist \(F\) ein unbestimmtes Integral einer Funktion \(f\) der Klasse \(L^2\) [oder: so ist \(\sum n_k^2 (a_k^2 + b_k^2)\) konvergent]. D. Wenn (1) auf einer Punktmenge positiven Maßes durch lineare Mittelbildungen summierbar ist, so ist (2) konvergent. (Dabei kann von den drei \textit{Toeplitz}schen Bedingungen der Mittelbildung die Beschränktheit der Zeilennormen fortgelassen werden.) Daß es endlich keine Reihe der Form (1) mit \(a_k \to 0\), \(b_k \to 0\) geben kann, die überall divergiert, lehrt der Satz E. Zu jeder Reihe der Form (1) mit \(a_k \to 0\), \(b_k \to 0\) läßt sich eine überall dichte (und überall kontinuumhafte) Punktmenge angeben, auf der (1) konvergiert.