A maximal theorem with function-theoretic applications. (Q1829895)

In der Arbeit wird folgende funktionentheoretische Frage behandelt: Es sei \(\lambda > 0\), \ \(f(z) = f(r \cdot e^{i\vartheta})\) regulär für \(r \leqq 1\), \[ F(\vartheta) = \underset{0\leqq r \leqq 1} {\text{ Max }} |f|. \] Gilt dann eine Ungleichung von der Form \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} (F(\vartheta))^\lambda \, d\vartheta \leqq A \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f(e^{i\vartheta})|^\lambda \, d\vartheta \] mit nur von \(\lambda\) abhängendem \(A\)? Die Untersuchung geht aus von einer elementaren Betrachtung. Es handelt sich darum, zu zeigen, daß eine gewisse aus Mittelwerten einer gegebenen Zahlenfolge gebildete Summe dann den größten Wert hat, wenn die Zahlen in fallender Reihenfolge gegeben sind. Es ergeben sich drei Sätze, die in Integralfassung folgendermaßen lauten: \(f(x)\) sei im Intervall \((0, a)\) positiv, beschränkt und meßbar. \(m(y)\) sei das Maß der \(x\)-Menge mit \(f(x) \geqq y\). Für \(0 \leqq x \leqq a\) sei \(f^*(x)\) definiert durch \[ f^*(m(y)) = y \qquad (0 \leqq m(y) \leqq a). \] Hat \(m(y)\) eine Unstetigkeitsstelle mit einem Sprung von \(\mu_1\) auf \(\mu_2\), so ist \(f^*\) konstant im Intervall \((\mu_1, \mu_2)\). Es sei gesetzt \[ A(x, \xi, f) = \begin{cases} \frac{1}{x - \xi} \int\limits_\xi^x f(t) \, dt & \text{ für } \;0 \leqq \xi < x, \\ f(x) & \text{ für } \;\xi = x \end{cases} \] und \[ \varTheta(x, f) = \underset{0 \leqq \xi \leqq x} {\text{ Max }} A (x, \xi, f). \] \(s(x)\) sei eine stetige und wachsende Funktion. Dann ist \[ \int_0^a s(A(x, 0, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(A (x, 0, f^*)) \, dx, \tag{1} \] \[ \int_0^a s(\varTheta(x, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(\varTheta (x, f^*)) \, dx, \tag{2} \] \[ \int_0^a s(A(x, \xi, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(A (x, 0, f^*)) \, dx \tag{3} \] (\(\xi = \xi (x)\) meßbar mit \(0 \leqq \xi \leqq x\)). Aus diesen Sätzen werden dann im Spezialfall \(s(x) = x^k\) (\(k\) ganz \(\geqq 1\)) Ungleichungen hergeleitet, wobei der Fall \(k = 1\) gesondert betrachtet werden muß; in diesem Fall spielt folgende von \textit{Zygmund} (Fundamenta 13 (1929), 284-303; F. d. M. \(55_{\text{II}}\)) eingeführte Begriffsbildung eine Rolle: \(f(x)\) heißt in \((a, b)\) zur Klasse Z gehörig, wenn \[ \int_a^b |f| \, \log^+ |f| \, dx \] mit \[ \log^+ |f| = \begin{cases} \log |f| & \text{ für } \;|f| \geqq 1, \\ 0 & \text{ für } \;|f| < 1 \end{cases} \] existiert. Offenbar enthält \(Z\) die in \((a, b)\) integrierbaren Funktionen. Im funktionentheoretischen Teil der Arbeit werden diese Ergebnisse auf integrierbare und periodische Funktionen (mit der Periode \(2\pi\)) angewendet. Dabei werden folgende Ausdrücke betrachtet: \[ M(\vartheta, f) = \underset{0 < |t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left| \frac{1}{t}\int_0^t f(\vartheta + x) \, dx\right|, \] \[ \overline{M}(\vartheta, f) = \underset{0 < |t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left( \frac{1}{t}\int_0^t |f(\vartheta + x)| \, dx\right), \] \[ N(\vartheta, f) = \underset{|t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left( \frac{1}{t}\int_0^t |f(\vartheta + x)| \, dx\right). \] Es ergibt sich zunächst: (4) Mit ganzem \(k > 1\) sei \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f(re^{i\vartheta})|^k \, d\vartheta \leqq C^k; \] dann ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |F|^k \, d\vartheta \leqq A_1C^k \] mit positiven), von \(f\) unabhängigem \(A_1\). (5) Ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f| \log^+ |f|\, d\vartheta \leqq C, \] so ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} F \, d\vartheta < A_1C + A_2 \] mit positiven, von \(f\) unabhängigen \(A_1\) und \(A_2\). In (4) und (5) bezeichnet \(F\) einen der Ausdrücke \(M\), \(\overline{M}\) und \(N\). Die winteren Untersuchungen beziehen sich auf Gebilde der Form \[ h(\vartheta, p) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(\vartheta + t) \cdot \chi(t, p) \, dt, \] wobei \(p\) ein Parameter ist und \(\chi\) der Bedingung \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \chi(t, p) \, dt = 1 \] unterliegt; insbesondere spielen dabei die Fälle \[ p = n, \quad \chi = \frac{\sin\left(n + \tfrac 12\right) t}{\sin \tfrac{t}{2}} \quad (Fourier), \] \[ p = n, \quad \chi = \frac{\left(\sin\left(\tfrac{n}{2} t\right) \right)^2}{n\left(\sin \tfrac{t}{2}\right)^2} \quad (\mathit{Fejér}), \] und \[ p = r, \quad \chi = \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos t + r^2} \quad (Poisson) \] eine Rolle. Von ausschlaggebender Bedeutung für die Untersuchung ist hierbei, ob für \(\chi\) eine Ungleichung der Form \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} \left| t\frac{\partial \omega}{\partial t}\right| \, dt \leqq B \] angesetzt werden kann, wo \(B\) von \(p\) unabhängig und co entweder \(\chi\) selbst oder eine Majorante von \(\chi\) ist. Schließlich gelangen die Verf. zu folgendem Resultat: Es sei \(\lambda\) positiv, \(f(z)\) regulär in \(r < 1\) (\(z = re^{i\vartheta})\), \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} |f(z)|^\lambda \, d\vartheta < C^\lambda \quad (r < 1), \] \(S_\alpha(\vartheta)\) mit \(0 \leqq \alpha < \frac{\pi}{2}\) der ``drachenförmige'' Bereich, der dadurch entsteht, daß man an den zu \(e^{i\vartheta}\) gehörigen Radiusvektor in \(e^{i\vartheta}\) nach beiden Seiten den Winkel \(\alpha\) anträgt und auf die entstehenden Halbstrahle vom Nullpunkt aus Lote fällt, und \[ F = \underset{S_\alpha(\vartheta)} {\text{ Max }} | f(z) |. \] Dann ist mit nur von \(\lambda\) und \(\alpha\) abhängendem \(A\) \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} |F(\vartheta)|^\lambda \, d\vartheta \leqq AC^\lambda. \] (IV 2, 3 D.)