Mathematical Notes 13: On mean values of power series. II. (Q1829896)

\(a_0, a_1, \dots\) seien beliebige (komplexe) Konstanten, für die \[ \mu(\varrho)^2 = \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 \varrho^{2n} \] für \(\varrho < 1\) endlich sei. \(\varepsilon_n\) sei für nicht negatives, ganzes \(n\) eine Funktion von \(n\), die nur der Werte 0 und 1 fähig sei. Es werde gesetzt: \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n a_n z^n, \quad J_\lambda(\varphi, \varrho) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |\varphi(\varrho e^{i\vartheta})|^\lambda \, d\vartheta. \] Im Anschluß an seine erste Mitteilung über den gleichen Gegenstand (Proceedings L. M. S. (2) 25 (1926), 328-337; F. d. M. 52) beweist Verf: (1) \ Ist \(\mu(\varrho) \leqq 1\) \ für \(\varrho < 1\), so gibt es eine Funktion \(\varepsilon_n\), so daß für \(\lambda > 0\) \[ J_\lambda (f, \varrho) < A_\lambda \] ist für \(\varrho < 1\) mit einer nur von \(\lambda\) abhängenden Konstanten \(A_\lambda >0\). (2) \ Ist \[ \lim_{\varrho\to 1} \mu(\varrho) = \infty, \] so gibt es eine Funktion \(\varepsilon_n\) und eine Folge \(\varrho_n\) von \(\varrho\)-Werten mit \(\lim\limits_{n\to\infty} \varrho_n = 1\), so daß für \(\lambda \leqq 2\) für jedes \(n\) \[ J_\lambda(f, \varrho_n) \geqq A_\lambda \cdot \mu^\lambda(\varrho_n) \left[\log \{2 + \mu(\varrho_n)\}\right]^{2\lambda - 4} \] ist, mit nur von \(\lambda\) abhängigem \(A_\lambda > 0\). (3) Ist mit nicht-negativem \(\beta\) für \(\varrho < 1\) \[ \mu(\varrho) \leqq \gamma (1 - \varrho)^{-\beta}, \] so gibt es eine Funktion \(\varepsilon_n\), derart, daß für jedes \(\varrho < 1\) \[ [J_\lambda(f, \varrho)]^{\tfrac{1}{\lambda}} < B \mu(\varrho) \left(\log \frac{2}{1 - \varrho}\right)^{\tfrac 12} + C \] mit nur von \(\beta\) abhängigem \(B\) und nur von \(\beta\) und \(\gamma\) abhängigem \(C\) ist.