Remarque sur les fonctions entières. (Q1829912)

Es sei \(f (z)\) eine ganze Funktion, \(\eta \) eine beliebige positive Zahl und \(C\) der Ring \(r\leqq |z|\leqq r^{1+\eta }\). Es gibt in C einen Kreis \(|z|=r'\), auf dem die Punktmenge, für die \[ \text{lo}{\operatornamewithlimits{g}^+}\,|f(z)|\geqq \alpha T(r',f) \] ist, ein Maß \(\geqq 2\pi r' \dfrac {1-\alpha }{A-\alpha }\) hat. Dabei ist \[ A=\frac {4e\varrho }{\eta }(1+\varepsilon )(1+\eta ) \] oder \[ A=2eu(r^{1+\eta })\frac {(1+\eta )(1+\varepsilon )}{\eta }, \] je nachdem, ob \(f (z)\) von endlicher \((\varrho )\) oder unendlicher Ordnung ist. \(\varepsilon > 0\) ist dabei eine beliebige Zahl, \(T(r', f)\) der charakteristische Index der \textit{Nevanlinna}schen Theorie und \[ u(r)>\frac {\log T(r,f)}{\log r} \] eine sonst beliebige monotone Funktion. Im Falle endlicher Ordnung ist darin insbesondere das Ergebnis enthalten, das \textit{Valiron} (C. R. 185 (1927), 1439-1441; F. d. M. 53, 294 (JFM 53.0294.*) und Opuscula A. Wiman dedicata 1930, ...-...; F. d. M. 56\(_{\text{II}}\)) gewonnen hat. Analoga zu dessen Ergebnis folgen als Korrolare auch für Funktionen unendlicher Ordnung aus dem angeführten Satz. Insbesondere ergibt sich auch die Existenz ganzer Funktionen \(\varphi (z)\), die im Äußeren eines Winkelbereiches der Öffnung \(l\) beschränkt sind, und für die \[ \lim\,\log\frac {T(|z|,\varphi )}{|z|}=\frac {2\pi }{l} \] gilt. (Vgl. dazu \textit{H. Bohr}, C. R. 189 (1929), 826-827; Sitzungsberichte Akad. Berlin 1929, 565-571; F. d. M. 55I, 189.)