On the ``flat'' regions of integral functions of finite order. (Q1829914)

Flachgebiet (``flat region'') einer ganzen Funktion soll ein Gebiet heißen, in dem in gewissem Sinn der Minimalmodul und der Maximalmodul von der gleichen Größenordnung sind. Die Hauptergebnisse sind diese: (1) \(f(z)\) sei regulär in \(-\dfrac {\pi }{4}\leqq \arg z\leqq \dfrac {\pi }{4}\), und es sei \[ |f(z)| < Ae^{k|z|^2},\quad k<\frac {\pi }{2}, \] in dem Winkelraum. Endlich sei \(f(m + in) =0\) für alle ganzen \(m\), \(n\), für die \(m + in\) in den Winkel fällt. Dann ist \(f(z)\equiv 0\). (2) \(f(z)\) sei ganz von einer Ordnung kleiner als 1, \(\sigma < 1-\varrho \) eine feste Zahl, \[ m_\sigma (\varrho )=\operatornamewithlimits{Min}_{r\leqq |z|\leqq r+r^\sigma } |f(z)|, \quad M_\sigma (\varrho )=\operatornamewithlimits{Max}_{r\leqq |z|\leqq r+r^\sigma } |f(z)|. \] Dann ist \[ \operatornamewithlimits{lim\;sup}_{r\to \infty } \frac {\log m_\sigma (r)}{\log M_\sigma (r)} \geqq \cos \pi \varrho . \] Jeder solche Ring ist demnach ein Flachgebiet. Ist also z. B. \(f(n^2)= 0\) (\(n = 1, 2,\ldots \)), so ist \(f (z)\equiv 0\). (3) Ist \(f (z)\) eine ganze Funktion vom Geschlecht 0 oder 1 und \(d > 0\) eine gegebene Zahl, dann gibt es ein \(h > 0\) und eine Folge von komplexen Zahlen \(z_1, z_2,\ldots \) mit \(z_n\to \infty \), so daß \[ \log |f(z)| > h\log M(|z_n|) \] in \(|z-z_n|\leqq d\). Ist also z. B. \(f(m + ni)=0\) für alle ganzen \(m\), \(n\) und \(f(z)\) vom Geschlecht Null oder Eins, so ist \(f (z)\equiv 0\).