Über die Wertverteilung der algebroiden Funktionen. (Q1829932)

Zunächst werden der erste und der zweite Hauptsatz der \textit{Nevanlinna}schen Theorie der meromorphen Funktionen auf algebroide Funktionen übertragen. Für jede in \(|z|\leqq R\) nicht konstante algebroide Funktion \(f (z)\) ist \[ m(r,a) + N(r,a) =T(r,f) + O\,(1). \] \(a\) ist dabei ein beliebiger endlicher oder unendlicher Wert (erster Hauptsatz). Ist \(f (z)\) in der ganzen Ebene algebroid, und sind \(a_1,\ldots,a_q\) verschiedene endliche oder unendliche Werte, dann ist für genügend große \(r\) \[ (q-2)T(r,f) < \sum _1^q N(r,a_\nu ) - N(r,f) +O\,(\log T(r,f)+\log r) \] außer für eine \(r\)-Menge von endlichem Gesamtmaß. Dabei ist \[ N(r,f) =2N(r,f) +N\Bigl(r,\frac {1}{f'}\Bigr) - N(r,f') \] (zweiter Hauptsatz). Ist \(k\) die Anzahl der Zweige der algebroiden Funktion, und setzt man \[ \theta (a)= \operatornamewithlimits{lim\;inf}_{r\to \infty } \frac {m(r,a)}{T(r,f)}, \] so heißt \(a\) Ausnahmewert von \(f(z)\), wenn der Defekt \(\theta (a) > 0\) ist. Die Menge dieser Ausnahmewerte ist abzählbar und die \(\sum \theta (a)\) ihrer Defekte ist konvergent und höchstens gleich \(2k\).