Sur une classe de fonctions transcendantes. (Q1829933)

Verf. formuliert folgende Aufgabe: Es seien \(q\geqq 2\) voneinander verschiedene Punkte \(a_1,\ldots, a_q\) in der Ebene der komplexen Zahlen und \(q\) natürliche Zahlen \(\mu_1,\ldots, \mu_q\), deren Summe \(n\) sei, gegeben. Man bestimme alle analytischen Funktionen \(x(z)\) mit folgenden Eigenschaften: (1) \(x(z)\) ist in der \(z\)-Ebene unbegrenzt fortsetzbar mit Ausnahme höchstens der Punkte \(a_1,\ldots, a_q\); (2) \(x(z)\) ist schlicht; (3) \(x(z)\) läßt über dem Punkt \(a_\nu\) genau \(\mu_\nu\) logarithmische Elemente (und vielleicht auch schlichte Elemente) zu; (4) der Wertevorrat von \(x(z)\) ist einfach zusammenhängend. Verf. beweist, daß dieses Problem für \(q = 2\) und \(q = n = 3\) genau eine Lösung, in allen anderen Fällen, d. h. für \(q\geqq 3\), \(n\geqq 4\), aber unendliche viele Lösungen besitzt.