Contribution à la théorie du prolongement analytique des séries de Dirichlet. (Q1829943)

Kap. I enthält den Beweis eines Satzes, der ungefähr so lautet: Wenn \(\sum a_ne^{-\lambda_{n^s}}\) die singulären Punkte \(\alpha\) und wenn \(\sum b_ne^{-\lambda_{n^s}}\) die singulären Punkte \(\beta\) hat, so sind die singulären Punkte von \(\sum a_nb_ne^{-\lambda_{n^s}}\) im wesentlichen unter den Zahlen \(\alpha + \beta\) zu suchen. Die genaue Formulierung des Satzes mit allen seinen Voraussetzungen ist jedoch nicht ohne große Weitschweifigkeit möglich und muß hier unterdrückt werden; ebenso ist es bei den weiteren Sätzen. In Kap. II handelt es sich allgemeiner um die Funktionen \(\sum a_ne^{-\lambda_{n^s}}\) und \(\sum b_ne^{-l_{n^s}}\) mit den Singularitäten \(\alpha\) bzw. \(\beta\). Dann sind die Singularitäten von \(\sum a^{(k)}_{l_n}b_ne^{-l_{n^s}}\), wobei \[ a^{(k)}_{l_n} = \sum\limits_{\lambda_m < l_n} (l_n - \lambda_m)^k a_m \] ist, unter den Zahlen \(\alpha + \beta\) zu suchen. In Kap. III wird aus den Funktionen \(\sum a_ne^{\lambda_{n^s}}\) und \(\sum b_ne^{l_{n^s}}\) mit den Singularitäten \(\alpha\) bzw. \(\beta\) die neue Funktion \(\sum d_ne^{\mu_{n^s}}\) gebildet, wobei die \(\mu_n\) die der Größe nach geordneten Zahlen der Form \(m + l_q\) (\(m, q = 1, 2, 3,\ldots\)) sind und zu \(\mu_n = m + l_q\) zugehörig \[ d_n = b_q\dfrac{l_q(l_q+1)\cdots (l_q+m-1)}{m!}\sum\limits_{\lambda_r<m} (m-\lambda_r)^ka_r \] ist. Ihre Singularitäten sind unter den Zahlen -- \(\log (e^{-\alpha} + e^{-\beta}\)) zu suchen. In Kap. IV werden bekannte Kriterien von \textit{Hadamard} und \textit{Faber-Wigert} für die \textit{Taylor}koeffizienten von Funktionen mit nur polaren Singularitäten oder mit nur \textit{einer} (wesentlich) singulären Stelle auf \textit{Dirichlet}sche Reinen übertragen.