Sur la limitation des dérivées des polynomes. (Q1830010)

Es wird zunächst der folgende Satz bewiesen: Es sei \(P_n(z)\) ein beliebiges Polynom \(n\)-ten Grades, \(H_l(z)\) ein Polynom \(l\)-ten Grades, von dem keine Wurzel außerhalb des Einheitskreises liegt, und es sei \(l\leqq n\). Wenn dann auf dem Einheitskreise \[ |\,P_n(z)\,|\leqq |\,H_l(z)\,| \] gilt, so gilt dort auch für jedes \(k\): \[ \Bigl|\,P_n^{(k)}(z)\,\Bigr|\leqq \Bigl|\,\bigl[z^{n-l}\, H_l\,(z)\bigr]^{(k)}\,\Bigr|. \] Dieser Satz wird auf trigonometrische Polynome übertragen; ferner wird der folgende Satz über Polynome im Reellen gefolgert: Es seien \(M\,(x)\) und \(N\,(x)\) zwei reelle Polynome der Grade \(l\) und \(l - 1\), die für \(x > 1\) beide positiv sind, und deren Wurzeln sämtlich in \(\langle - 1, + 1\rangle\) liegen und sich gegenseitig trennen. Wenn dann auf \(\langle - 1, + 1\rangle\) die Ungleichung \[ |\,P_n\,(x)\,|\leqq \sqrt{M^2\,(x)+(1-x^2)\,N^2\,(x)} \] gilt, dann gilt dort auch: \[ \multlinegap{0pt}\begin{multlined} |\,P_n^\prime(x)\,\sqrt{1-x^2}\,|\leqq \\ \sqrt{[(n-l)\,M\,(x)+xN\,(x)+(x^2-1)\,N'(x)]^2+ (1-x^2)\,[(n-l)\,N\,(x)+M'(x)]^2}.\end{multlined} \] (III 3.)