On some integrals involving Legendre polynomials. (Q1830027)

Bei einer Untersuchung über den Druck auf ein kugelförmiges Hindernis in der Nähe einer rotationssymmetrischen Flüssigkeitsquelle wird man auf das Integral \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \qquad \int\limits_{-1}^{+1} \frac{y(1-y^2)}{x^2-y^2}\, P_m^\prime(y)\,P_n^\prime(y)\,dy \hfill} \] geführt, wobei \(x^2>1\) ist und \(m\) und \(n\) natürliche Zahlen bedeuten. Wenn \(m + n\) gerade ist, ist (1) gleich Null. Verf. untersucht den Fall \(m + n\) ungerade. In diesem Fall läßt sich (1) auf das Integral \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill \qquad\frac{1}{2} \int\limits_{-1}^{+1}\frac{P_n(y)}{x-y}\,dy \hfill} \] zurückführen. Nach \textit{F. Neumann} (vgl. z. \textit{B. Whittaker-Watson}, A course of modern analysis 4. ed. (1927; F. d. M. 53, 180), p. 320) ist (2) gleich \(Q_n(x)\), wenn \(n\) eine natürliche Zahl und \(x\) nicht eine Zahl aus \(\langle - 1, + 1\rangle\) ist. Verf. beweist dieses \textit{Neumann}sche Resultat von neuem und leitet daraus weitere Formeln von folgender Art her: \[ \begin{aligned} &\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{+1}\frac{1}{x-y}\,P_n\,(y)\,P_m\,(y)\,dy= P_n\,(x)\,Q_m\,(x) \;\;\;\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{für}\,n\leqq m,\\ &\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{+1}\frac{1}{x-y}\,P_n^\prime\,(y)\, P_m\,(y)\,dy=\begin{cases} P_n^\prime\,(x)\,Q_m\,(x) \hfill\text{für}\,n\leqq m+1,\\ Q_n^\prime\,(x)\,P_m\,(x)+\frac{1}{2} \biggl(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{(-1)^{n-m}}{x+1}\biggr) \;\text{für}\,n\geqq m+1, \end{cases} \\ &\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{+1}\frac{y^2-1}{x-y}\,P_n^\prime\,(y)\, P_m^\prime\,(y)\,dy=(x^2-1)\,P_n^\prime\,(x)\,Q_m^\prime\,(x) \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \text{für}\,n\leqq m.\end{aligned} \] Alle Formeln gelten unter der einzigen Einschränkung, daß \(x\) nicht eine Zahl aus \(\langle - 1, + 1\rangle\) ist. (IV 3 B, 6 B.)