The power series and the infinite products for sin \(x\) and \(\cos x\). (Q1830038)

Verf. schlägt vor, die bekannten Reihen- und Produktentwicklungen von \(\sin x\) und \(\cos x\) im Reellen unter Benutzung des folgenden Satzes (\textit{J. Tannery}: Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, t. I, 2. éd. (F. d. M. 35, 374 (JFM 35.0374.*)), p. 292. Vgl. auch \textit{Bromwich}: Theory of infinite series, 2. ed. (1926; F. d. M. 52, \S 49) herzuleiten, der gleichfalls hier bewiesen wird: Ist \[ F\,(n)=v_1\,(n)+v_2\,(n)+\dots +v_n\,(n), \] ist ferner für festes \(r\) \[ \lim_{n\to\infty }v_r(n)=w_r \] und gilt \[ |\,v_r(n)\,|\leqq M_r\;\;\text{für}\;\; r=1,2,\dots,n, \] wobei die Zahlenreihe \(\textstyle \sum\limits_{r=1}^{\infty }M_r\) konvergiert, so existiert \(\displaystyle\lim_{n\to\infty } F(n)\) und es konvergiert \(\textstyle \sum\limits_{r=1}^{\infty }w_r\), und zwar gegen \(\displaystyle\lim_{n\to\infty } F(n)\). (I 3, IV 2.)