On a generalization of Watson's expressions for Legendre's functions. (Q1830076)

Unter Benutzung der Formeln aus einer eigenen Arbeit über die zugeordneten Kugelfunktionen \(P_n^m\), \(Q_n^m\) (1896; F. d. M. 27, 366 (JFM 27.0366.*)) leitet Verf. die folgenden Formeln her: \[ \begin{aligned} \tfrac{1}{2}\pi P_n^m(\cos\vartheta)= W\,\sin\,\bigl[(n+\tfrac{1}{2})\,\vartheta+\tfrac{1}{2}m\pi + \tfrac{1}{4}\pi +\omega\bigr]\,&,\tag{"}\qquad(1)"\\ Q_n^m(\cos\vartheta)=W\,\cos\, \bigl[(n+\tfrac{1}{2})\,\vartheta+\tfrac{1}{2}m\pi + \tfrac{1}{4}\pi +\omega\bigr]\,&.\tag{"}\qquad(2)"\bigr] \end{aligned} \] Dabei ist \(\omega\) die Amplitude des Integrals \[ \textstyle \int\limits_{0}^{\infty } \displaystyle e^{-(n+1)\tau+m\tau}\, (1-e^{-\tau})^{m-\frac{1}{2}} \bigl[(1+e^{-\tau})\,\sin\,\vartheta+ i\,(1-e^{-\tau})\,\cos\,\vartheta\bigr]^{m-\frac{1}{2}}\,d\tau. \] \(W\) ist reell und positiv; für \(m\) und \(n\) gilt: \(m>-\frac{1}{2}\), \(n+1>m\). Für \(m = 0\) gehen (1) und (2) in Formeln über, die \textit{Watson} angegeben hat (Transactions Cambridge 22 (1918), 277-308, insbesondere p. 294). (IV 6 A.)