Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Herausgegeben und kommentiert von W. W. Struve unter Benutzung einer hieroglyphischen Transkription von \textit{B. A. Turajeff}. (Q1830305)

Das in dem Moskauer Papyrus aus der früheren Sammlung \textit{Golenischeff} (GP) vorliegende Rechenbuch bildet mit seinen 25 Aufgaben eine wertvolle Bereicherung unserer Kenntnis der Mathematik des mittleren Reiches, für die bisher als Hauptquelle, neben einigen kleineren Dokumenten, nur der Papyrus Rhind (RhP) zur Verfügung stand. Vom GP war bisher nur die ``Pyramidenstumpfaufgabe'' bekannt; jetzt hat \textit{Struve} mit seiner ausgezeichneten Edition das Ganze zugänglich gemacht. Der hieratische Text ist auf 10 vorzüglichen Tafeln photographisch wiedergegeben. Die einleitenden Paragraphen (S. 1-40) behandeln neben Beschreibung und Charakteristik des Papyrus hauptsächlich philologische Fragen wie Terminologie, Paläographie, Orthographie, stereotype Wendungen usw. Dann folgt (S. 41-169) die wörtliche Übersetzung sowie ein überaus eingehender sprachlicher und sachlicher Kommentar der einzelnen Aufgaben, die von \textit{Struve} nach dem Inhalt in neun Gruppen (\S\S) gegliedert wurden. Im Text selbst sind sie ohne Ordnung aneinandergereiht. Der Hauptteil aller Aufgaben entfällt auf die schon aus dem RhP bekannten, der Wirtschaftsmathematik angehörenden pśw-Rechnungen (\S~2, verwandt die šbn-Aufgabe des \S~3). In ihnen wird die Qualität von Brot und Bier in Beziehung gesetzt zu der Menge und Art des verwendeten Materials, wobei wertvolle Seitenblicke auf kulturhistorische Fragen (z. B. Wertverhältnis der verschiedenen Getreidesorten) geworfen werden. Eine zweite Gruppe sind die \({}^{c}{\text{ḥ}}^c\)-Aufgaben (\S~5), die auf ``Gleichungen'' ersten Grades führen. Während es sich sonst, auch im RhP, um Rechnungen \(ax = b\) (algebraisch formuliert) handelt, liegt in GP 19 die erweiterte Fassung \(ax+ b = c\) vor; die Aufgabe wird entsprechend der späteren Methode der ``Ausgleichung'' (al-mukabalah) als \(ax =b - c\) weitergerechnet. Es fällt auf, daß die Unbekannte, die im RhP durch das Abstrakt-Determinativ (Buchrolle) näher bestimmt wird, hier im GP ein konkretes Determinativ (Haufen) bei sich hat. Dies spricht für eine in der Zwischenzeit stattgefundene Verdrängung der konkreten Auffassung der Unbekannten durch eine abstrakte, was auch mit der Datierung der beiden Papyri im Einklang steht (GP aus etwa -- 1850, RhP aus -- 1650; beide sind Abschriften aus ca. 150-200 Jahre älteren Quellen). Auch das seltene Vorkommen von Brüchen im GP kann als ein Zeichen für eine erst langsam erreichte Vervollkommnung der Bruchrechnung angesehen werden. Wenn man von den noch umstrittenen, zum Teil fragmentarisch erhaltenen Aufgaben 2, 3, 11, 23 (\S\S~1, 4) absieht, besteht der Rest (\S\S~6-9) aus geometrischen Problemen. Hier hat \textit{Struve} in der Erklärung der Dreiecksterminologie eine besonders glückliche Hand, wobei der lange Streit, ob man die richtige oder falsche Dreiecksformel verwendete, zugunsten der Ägypter seine Erledigung findet. Hervorzuheben ist ein Fachwort für Quadrieren (śnj) und eines für ein Kathetenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck (idb). Eingehend wird die Aufgabe GP 14 behandelt, in der das Volumen eines quadratischen Pyramidenstumpfes als \((a^2+ ab + b^2) \cdot h/3\) vorgerechnet wird, sowie GP 10, die \textit{Struve} als Berechnung einer Halbkugeloberfläche deutet (Fläche \(= 2d\cdot \dfrac89\cdot \dfrac89\cdot d\), mit \(\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{64}{81}\) wie im RhP). Im Schlußabschnitt (S. 170-186; es folgen noch Glossar, Namen- und Sachregister, Korrigenda) faßt Struve seine Ergebnisse zusammen, wobei er vor allem dafür eintritt, daß die ägyptische Mathematik als ``Wissenschaft'' anzusehen ist. Dies ist richtig, falls man darunter keine beweisende im griechischen Sinn versteht. Zwar muß man auf die Heranziehung der Halbkugelaufgabe zur Dokumentierung hoher mathematischer Leistungen verzichten, nachdem \textit{Peet} (Journ. of Egypt. Arch. 17 (1931), 100 ff.) aus guten philologischen Gründen das Vorliegen einer Halbzylinder- oder Halbkreisaufgabe wahrscheinlich gemacht hat. Auch bauen manchmal die Gedankengänge \textit{Struves} auf Kenntnissen auf, die quellenmäßig nicht belegt sind. Aber schon die Pyramidenstumpfformel, von der man nicht annehmen kann, daß sie jemand sofort richtig erraten hat, zeigt ein Streben, der Wahrheit -- wohl nach früheren nur angenähert richtigen Lösungsformeln -- auf die Spur zu kommen. Welche Mittel auch immer zum Erfolg führten, das Streben selbst ist bereits von wissenschaftlichem Geiste diktiert, auch wenn die Probleme ursprünglich aus praktischen Interessen heraus in Angriff genommen wurden. So zeigt der Papyrus klar, daß \(1^1/_2\) Jahrtausende vor unseren ältesten griechischen Dokumenten die Ägypter Kenntnisse errungen hatten, auf denen jene aufbauen konnten, ohne die aber der rasche Aufschwung der griechischen Mathematik auf ihre philosophische Höhe wohl nicht möglich gewesen wäre. Besprechungen: O. Neugebauer; Göttingische gelehrte Anzeigen 1931, S.~24-32; K. Vogel; Arch. f. Geschichte (neue Folge) 13 (1931), 446-463. T. E. Peet; Journal of the Egypt. Archaeology 17 (1931), 154-160. K. Vogel; Archeion 13 (1931), 250-251. T. L. H.; Nature 127 (1931), 583-585. K.Vogel; Deutsche Lit.-Z. 1931, 1959-1961. R. O. Archibald; Isis 16 (1931), 148-165. E. Bessel-Hagen; Orient. Lit. Z. 35 (1932), 391-399.