Recherches sur la théorie de la démonstration. (Q1830453)

Verf. gibt zunächst eine ausführliche Einführung in die Logistik, die an Klarheit und Strenge nichts zu wünschen übrig läßt (Kap.~I: Aussagenkalkül; Kap.~II: Funktionenkalkül). Auf dieser Grundlage werden metalogische Untersuchungen angestellt, und zwar beschäftigt sich Kap.~III allgemein mit der Axiomatisierung von Theorien, während Kap.~IV speziell der Axiomatik der Arithmetik gewidmet ist. Das wichtigste V.~Kap. bringt Beiträge zum Entscheidungsproblem und zur Widerspruchsfreiheit der Arithmetik. Verf. gelangt hier u. a. zu ähnlichen Resultaten wie \textit{Löwenheim} (Math. Ann. 76 (1915), 447-470; F. d. M. 45, 108 (JFM 45.0108.*)-109) und \textit{Skolem}, allerdings unter Benutzung präziserer Begriffsbildungen (insbesondere wird hier im Gegensatz zu \textit{Löwenheim} präzisiert, was es heißt, eine Aussage des elementaren Funktionenkalküls sei ``wahr in bezug auf einen unendlichen Individuenbereich''). In der Einleitung betont Verf. mit Recht -- und dies wird auch durch die späteren Ausführungen erhärtet --, daß viele Streitpunkte hinsichtlich der Grundlegung der Mathematik ihren Ursprung in einer Vermengung intern-mathematischer mit metamathematischen Begriffen haben und alsbald verschwinden, wenn man in dieser Hinsicht reinliche Unterscheidungen macht. Hierher gehören z. B. Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich des ``tertium non datur'', der rekursiven Begründungsverfahren, der (intuitionistischen) Konstruierbarkeit, sowie die \textit{Borel}sche Paradoxie von der endlichen Definierbarkeit.