Sur les classes d'ensembles closes par rapport à certaines opérations élémentaires. (Q1830628)

Die außerordentlich inhaltreiche Arbeit betrachtet die eine gewisse Eigenschaft \(P\) besitzenden Klassen von Teilmengen einer gegebenen unendlichen Menge \(A\), und zwar wird nach der \textit{Mächtigkeit} der Menge aller derartigen Klassen gefragt, wenn außer \(A\) noch die Eigenschaft \(P\) gegeben ist. Diese Eigenschaft besteht darin, daß die Klasse von Teilmengen jeweils in bezug auf eine gewisse Operation abgeschlossen ist; es werden eine Reihe von Operationen hierfür in Betracht gezogen, namentlich die Hinzunahme der Teilmengen aller in der fraglichen Klasse enthaltenen Mengen und die Bildung der Komplemente, Vereinigungsmengen, Durchschnitte und Differenzen dieser Mengen, sowie einige verwandte Operationen, ferner ihre einmaligen Iterationen und die Kombination mehrerer der bezeichneten Operationen. Der Behandlung des eigentlichen Themas gehen ausgedehnte Vorbereitungen hinsichtlich terminologischen und Tatsachenmaterials voran, darunter auch ein besonderer Algorithmus, der Operationen mit Mengenklassen betrifft; dieser Algorithmus, der zunächst auf die Erzeugung neuer Mengenklassen aus gegebenen Mengenklassen gemünzt ist und hierfür ein sehr abkürzendes, wenn auch sehr abstraktes Vorgehen ermöglicht, läßt sich auch auf Operationen mit Mengen -- ohne Rücksicht auf den Mengencharakter ihrer Elemente -- anwenden. Die Bestimmung der Mächtigkeit der bezeichneten Mengen von Klassen wird dann für alle angeführten Operationen durchgeführt, und zwar generell unter Verwendung des Wohlordnungssatzes, in einer Reihe von Fällen auch mit Hilfe der verallgemeinerten \textit{Cantor}schen Kontinuumshypothese. In den meisten Fällen ergibt sich, wenn \(\aleph{\alpha}\) die Mächtigkeit der Ausgangsmenge ist, als die gesuchte Mächtigkeit entweder \(2^{\aleph\alpha}\) oder \(2^{2^{\aleph\alpha}}\); in einigen besonderen Fällen ist die gesuchte Mächtigkeit gleich 2. Die Ergebnisse haben einen in gewissem Sinn erschöpfenden Charakter, wie ein zusammenfassendes Theorem zeigt, das alle vorkommenden Fälle in eine beschränkte Zahl einfacher Typen gliedert. Bezüglich der prinzipiell einfacheren Frage nach der Mächtigkeit der Menge aller derjenigen Teilmengen von \(A\), die eine gewisse Eigenschaft \(\mathfrak E\) besitzen, bemerkt der Verf. anhangsweise, daß alle bekannten Probleme dieser Art innerhalb der abstrakten Mengenlehre sich de facto -ohne daß der Grund hinreichend einleuchtend wäre -- auf die Form bringen lassen: Welches ist die Mächtigkeit der Menge derjenigen Teilmengen von \(A\), deren \textit{Mächtigkeit} eine gewisse Eigenschaft \(\overline{\mathfrak E}\) besitzt? Auf diese Frage läßt sich aber eine einfache Antwort geben.