Über Äquivalenz der Mengen in bezug auf eine beliebige Klasse von Abbildungen. (Q1830629)

Ein Referat (ohne Beweise) über Ergebnisse aus einem Gedankenkreis, der zuerst von \textit{D. König} und \textit{Banach} im Verein mit dem Verf. eröffnet und seither stark erweitert worden ist. Es handelt sich um Äquivalenz von Mengen in bezug auf eine gegebene \textit{Klasse von Abbildungen}, gleichviel von welcher Art diese ist; sie kann also \textit{alle} Abbildungen enthalten, aber sich z. B. auch auf homöomorphe, topologisch äquivalente, kollineare, geometrisch ähnliche Abbildungen usw. beschränken. Der für die erste Klasse historisch wichtigste Satz, der \textit{Bernstein}sche Äquivalenzsatz, läßt so eine sehr weitgehende Verallgemeinerung zu; dasselbe gilt für den Satz der Kardinalzahlentheorie, wonach aus \(n \cdot \mathfrak p = n \cdot \mathfrak q\), falls \(n\) eine natürliche Zahl ist, \(\mathfrak p = \mathfrak q\) folgt. Eine größere Anzahl von Sätzen, die zum überwiegenden Teil vom Verf. und \textit{Lindenbaum} herrühren, und die außer Begriffen aus der Algebra der Logik nur den Begriff der Gleichmächtigkeit enthalten, wird angeführt; Verf. bemerkt, daß die Beweise in der Regel das Auswahlprinzip nicht verwenden. Besondere Beachtung findet der Fall, wo die Klasse der die Abbildung vermittelnden (eineindeutigen) Funktionen Gruppencharakter besitzt. Schließlich läßt sich der Begriff des \textit{Typus} einer Klasse von Abbildungen einführen, der zu einer entsprechenden Verallgemeinerung des Begriffs der Mächtigkeit führt und z. B. Ordnungstypus oder topologischen Typus umfaßt. In der sich so ergebenden Arithmetik der Typen finden sich die Verallgemeinerungen aller derjenigen Sätze der Kardinalzahlenarithmetik, in die nur Begriffe wie ``gleich'', ``kleiner'', Addition und Vervielfachung eingehen, und deren Beweis das Auswahlprinzip nicht erfordert.