Sur certains ensembles plans. (Q1830639)

Verf. untersucht eine von \textit{Lusin} (vgl. vorstehendes Referat) speziell für die Komplementärmengen analytischer Mengen gestellte Frage: \(E\) sei eine Menge in der Ebene, die von jeder Geraden \(y=\) const in genau zwei Punkten oder gar nicht geschnitten wird und demgemäß in zwei Teilmengen \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\) (mit kleinerem oder größerem Wert der Ordinaten) zerlegt ist; wann kann man behaupten, daß zugleich mit \(E\) auch \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\) zu einer bestimmten Klasse von Mengen gehören? Verf. gelangt zu folgenden Ergebnissen: Ist \(E\) abgeschlossen, so sind \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\) zugleich \(F_\sigma\) und \(G_\delta\) (aber nicht notwendig abgeschlossen). Ist \(E\) ein \(F_\sigma\), so auch \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\). Ein \(E\), das ein \(G_\delta\) ist, kann zu \textit{Borel}schen Mengen \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\) von beliebiger Klasse führen. Ein \textit{Borel}sches \(E\) oder ein analytisches E zerfällt in Mengen \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\) von der gleichen Art. Das gilt nicht mehr, wenn \(E\) ein \(C(A)\) (Komplement einer analytischen Menge) ist; jedoch führt ein \(PC(A)\) (\(P=\) Projektion) wieder zu Bestandteilen, die \(PC(A)\) sind. Und allgemein: wenn E eine projektive Menge ist, so auch \(\varphi(E)\) und \(\psi(E)\). Verf. gibt dann noch die Ergebnisse bei Abänderung der Fragestellung an (man verlangt, daß jede Gerade \(y=\) const die Menge \(E\) \textit{höchstens} zweimal schneiden soll, und setzt fest, daß immer dann, wenn nur ein Schnittpunkt da ist, dieser zu \(\varphi(E)\) gehören soll).