Über lateinische Quadrate und Unionen. (Q1830671)

Verf. versucht, eine allgemeine Theorie der sogenannten lateinischen Quadrate anzubahnen, d. h. der quadratischen Matrizen \(Q =(a_{\varkappa\lambda})\) vom Grade \(n\), unter deren Elementen nur \(n\) von einander verschiedene vorkommen, und für die \[ a_{\kappa\lambda} \ne a_{\mu\lambda}\ne a_{\mu\nu} \text{ für } \kappa\ne \mu, \;\lambda \neq \nu. \] 1. \(Q\) bezeichne ein beliebiges lateinisches Quadrat. Es gibt eine Gruppe \(\mathfrak G\) von Transformationen, die jedes \(Q\) wieder in ein \(Q\) überführen. Sie wird erzeugt durch: a) Vertauschungen zweier Zeilen, b) Vertauschungen zweier Spalten, c) Umbenennungen der Elemente von \(Q\). \noindent Zu jedem \(Q\) gehört eine bestimmte Untergruppe \(\varGamma\) von \(\mathfrak G\), seine ``Transformationsgruppe'', die aus den Transformationen von \(\mathfrak G\) besteht, welche \(Q\) nicht ändern. \(\mathfrak G\) kann erweitert werden durch Adjunktion der Elemente einer gewissen Gruppe \(\Re\) sechster Ordnung, deren Transformationen jedem \(Q\) sechs ``koordinierte'' \(Q\) zuordnen. Je sechs koordinierte \(Q\) haben eine anschauliche geometrische Bedeutung im \(R^3\). \(Q\) ist charakterisiert durch \(n\) Permutationen in \(n\) Symbolen, deren \(\nu\)-te angibt, wie die \(\nu\)-te Zeile von \(Q\) aus der ersten entsteht. Verf. betrachtet der Symmetrie wegen außer diesem ``ersten Fundamentalsystem'' noch zwei weitere Systeme von je \(n\) Permutationen. Es werden die Zusammenhänge zwischen den Fundamentalsystemen und Transformationsgruppen koordinierter \(Q\) untersucht. Ferner wird ein spezielles Element von \(\Re\), die Spiegelung an der Hauptdiagonale, zu \(\mathfrak G\) adjungiert und die entsprechende Erweiterung von \(\varGamma\) genauer betrachtet. 2. Jedes \(Q\) kann als Verknüpfungstafel eines gruppenähnlichen Gebildes \(\mathfrak F\), einer ``Union'', betrachtet werden. Eine Union ist eine endliche Menge, in der alle Gruppenpostulate bis auf das der Assoziativität gelten. Es wird angegeben, wie die Automorphismengruppe von \(\mathfrak F\) aus \(Q\) bestimmbar ist, ferner, in welchem Verhältnis sie zur Transformationsgruppe steht. Jedes \(\mathfrak F\) enthält drei ausgezeichnete Untergruppen \(\mathfrak F_\nu\), deren \(\nu\)-te charakterisiert ist durch: \[ (a_1a_2)a_3=a_1(a_2a_3) \;\text{für} \;a_\nu<\mathfrak F_\nu; \;a_1,a_2,a_3 < \mathfrak F. \] Es wird gezeigt, daß die \(\mathfrak F_\nu\) zu drei gewissen invarianten Untergruppen der Transformationsgruppe isomorph sind. Der Spezialfall, daß \(\mathfrak F\) eine Gruppe ist, wird genauer diskutiert. Speziell ergeben sich einige mit der Assoziativität der Verknüpfungsrelation äquivalente Eigenschaften der Gruppentafel sowie eine Deutung der Holomorphie einer Gruppe (s. \textit{Speiser}: Gruppen endlicher Ordnung, 1927, S. 123) mittels der Transformationsgruppe des zugehörigen \(Q\). 3. Jedes lateinische Quadrat \(Q_0\) gibt Anlaß zur Bildung der folgenden vier Mengen von Quadraten, deren jede die ihr folgende enthält: Grundklasse \(=\) alle \(Q\), die aus \(Q_0\) durch Anwendung aller Transformationen aus \(\mathfrak G\) und \(\Re\) entstehen. Klasse \(=\) alle \(Q\), die aus \(Q_0\) durch alle Transformationen aus \(\mathfrak G\) entstehen. Gattung \(=\) alle \(Q\), deren zugehörige Union \(\mathfrak F\) mit der Union \(\mathfrak F_0\) von \(Q_0\) isomorph ist. Familie \(=\) alle \(Q\), die durch Vertauschen von Zeilen untereinander und Spalten untereinander aus \(Q_0\) entstehen. Für die Ordnungen \(n=5\) und \(n=6\) werden Repräsentanten aller Gattungen und die Anzahl der Familien jeder Grundklasse angegeben. Dabei werden Resultate von \textit{G. Tarry} [Le problème des 36 officiers; Association Française Paris 29, 122--123 (1900); ibid. 29, 170--203 (1901; JFM 32.0219.04)] und \textit{M. Frolov} [Recherches sur les permutations carrées; J. de Math. spéc. (3) 4, 8--11, 25--30 (1890; JFM 22.0228.01)] bestätigt. (III 5.)