Über kubische diophantische Gleichungen. (Q1830733)

Verf. beschäftigt sich mit den rationalen, von Null verschiedenen Lösungen der Gleichung \[ z^3 - y^2 = D, \tag{1} \] wo \(D\) eine ganze rationale Zahl ist, die keine sechste Potenz enthält. Über diese oft untersuchte Gleichung sind bisher nur spezielle Resultate bekannt. Verf. zeigt, daß wenn (1) Lösungen in rationalen, von Null verschiedenen Zahlen hat, auch die Gleichung \[ z^3 - y^2 = -27D \tag{2} \] solche Lösungen hat, falls \(D\neq -1\) und \(D\neq 2^4\cdot 3^3\) ist. Mittels dieses Satzes wird gezeigt, daß man aus einer Lösung von (1) stets unendlich viele erhalten kann, so daß (1), abgesehen von den genannten beiden Ausnahmefällen, keine oder unendlich viele verschiedene rationale Lösungen besitzt. Für \(D = -1\) sind \(y = \pm 3\), \(z = 2\), für \(D = 2^4\cdot 3^3\) sind \(y = \pm 36\), \(z = 12\) die einzigen Lösungen. Enthält ferner \(D > 0\) alle ungraden Primfaktoren in ungrader Potenz, so haben (1) und (2) keine Lösung, falls \(D \equiv 7 (\text{mod }9)\), \(D\not\equiv -1 (\text{mod }4)\), \(D\not\equiv -4 (\text{mod }16)\) und die Klassenanzahl von \(K(\sqrt{-D})\) zu \(3\) teilerfremd ist. Hieraus folgt auch das bekannte Resultat des Verf. (1913; F. d. M. 44, 233 (JFM 44.0233.*)), daß die \textit{Fermat}sche Gleichung \[ \xi^3 + \eta^3 + \zeta^3 = 0 \] in ganzen, von Null verschiedenen Zahlen des imaginärquadratischen Körpers \(K(\sqrt{m})\), wo \(m = 2 (\text{mod }3)\) ist, höchstens dann lösbar ist, wenn die Klassenanzahl des Körpers durch \(3\) teilbar ist. (III 7.)