On the common index divisors of an algebraic field. (Q1830765)

\textit{Ore} stellte die Vermutung auf, daß in einein algebraischen Zahlkörper der Exponent \(\chi\) der höchsten Potenz \(p^\chi\), die ein außerwesentlicher Diskriminantenteiler sein kann, im allgemeinen nicht durch die Primidealzerlegung der Primzahl \(p\) bestimmt ist (s. d. Math. Ann. 99 (1928), 84-117; F. d. M. 54, 191 (JFM 54.0191.*)). In der vorliegenden Arbeit beweist Verf., daß für Körper, deren Grad \(n < 8\) ist, \(\chi\) stets durch die Primidealzerlegung bestimmt wird. Er stellt eine Tabelle auf, aus der \(\chi\) für alle \(n < 8\) und die jeweils in Frage kommenden \(p < n\) (\textit{M. Bauer}, Math. Ann. 64 (1907), 325-327; \textit{E. von Zylinski}, Math. Ann. 73 (1913), 273-274; F. d. M. 38, 119 (JFM 38.0119.*); 44, 241) zu entnehmen ist. Für \(n\geqq 8\) können dagegen stets Primidealzerlegungen auftreten, die \(\chi\) nicht eindeutig bestimmen. Für \(n = 8\) gibt Verf. das folgende Beispiel an: Zu der Zerlegung \[ (3) = \mathfrak{p}_1^2\cdot\mathfrak{p}_2^2\cdot\mathfrak{p}_3^2\cdot \mathfrak{p}_4^2, \quad N(\mathfrak{p}_i)=3, \] kann man zwei Typen von Körpern angeben, nämlich mit \(\chi = 2\) und mit \(\chi = 3\). In Spezialfällen wird auch für beliebiges \(n\) der Exponent \(\chi\) direkt durch die Primidealzerlegung festgelegt, z. B. ist für \((p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_n\), \(N(\mathfrak{p}_i) = 3\): \[ \chi = \sum\limits_{i=0}s_i\left\{n-p^i\left(\dfrac{s_i+1}{2}\right)\right\}, \;s_i=\left[\dfrac{n}{p^i}\right]. \]