Some problems of diophantine approximation: a series of cosecants. (Q1830791)

In dieser Abhandlung untersuchen die Verf. hauptsächlich Eigenschaften der Reihe \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n\sin n\theta\pi} \tag{"(S)"} \] mit irrationalem \(\theta\). Nebenbei werden auch die Reihen \[ \sum\dfrac{1}{\sin n\theta\pi}, \qquad \qquad \qquad (W) \qquad \qquad \sum\dfrac{1}{\sin^2 n\theta\pi} \tag{"(T)"} \] herangezogen und aus mehr technischen Gründen noch zwei als \(U\) und \(V\) bezeichnete Reihen, die aus \(S\) und \(T\) dadurch hervorgehen, daß \(\theta\) durch \(\theta + 1\) ersetzt wird. Das Ziel der Arbeit ist, zu zeigen, daß für \[ \theta = \sqrt{a^2+1} \] mit ungeradem ganzen \(a\) die Reihe \(S\) folgende Eigenschaften hat: (1) \(S\) oszilliert zwischen endlichen Grenzen; (2) \(S\) ist nicht \textit{Cesàro}-summierbar; (3) \(S\) ist summierbar durch die \textit{Rieß}schen logarithmischen Mittel jeder positiven Ordnung, und zwar zur Summe \[ -\dfrac{\pi}{12}\sqrt{a^2+1}. \] Am schwierigsten ist hiervon (1) zu beweisen, wobei als wesentliches Hilfsmittel die Kettenbruchentwicklung \[ \theta = a + \dfrac{1}{2a+}\dfrac{1}{2a+}\dfrac{1}{2a+}\begin{matrix}\phantom{1}\\ \cdots\end{matrix} \] benutzt wird. Zum Beweise von (2) und (3) wird eine Residuenrechnung auf die Funktion \[ g(s) = \sum\dfrac{1}{n^{s+1}\sin\; n\theta\pi} \] angewendet; außerdem macht man für (3) auch noch von (1) Gebrauch. Als Zwischenresultate sind noch bemerkenswert \[ W_n(\theta ) = \sum\limits_{\nu =1}^n\dfrac{1}{\sin^2\nu\theta\pi} = O(n^2) \tag{4} \] und \[ T_n(\theta ) = \sum\limits_{\nu =1}^n\dfrac{1}{\sin\; \nu\theta\pi} = O(n). \tag{5} \] Einige der Ergebnisse gelten auch für alle solche \(\theta\), die nur eine Kettenbruchentwicklung mit beschränkten Nennern besitzen. Dies gilt für (4) und (5). Für die Reihe \(S\) liegen die Dinge komplizierter. Für \(\theta\) mit beschränkten Kettenbruchnennern läßt sich nämlich nur beweisen \[ S_n = \sum\limits_{\nu =1}^n\dfrac{1}{n\sin\; \nu\theta\pi} = O(\log\; n), \] und schon für quadratische Irrationalitäten läßt sich nichts Schärferes erhalten. Die Verf. behaupten, daß für quadratische \(\theta\) überhaupt nur zwei Möglichkeiten bestehen, nämlich entweder \[ S_n = O(1) \] (welcher der Hauptteil der Arbeit gewidmet ist) oder \[ S_n = A\cdot\log\; n + O(1) \] mit gewissem von Null verschiedenen \textit{A}. Für diesen zweiten Fall geben sie noch ein Beispiel mit \[ \begin{gathered} \theta =\sqrt{\dfrac{b}{a}}\cdot\{\sqrt{ab+1}-\sqrt{ab}\} = \dfrac{1}{2a+}\dfrac{1}{2b+}\dfrac{1}{2a+}\dfrac{1}{2b+}\cdots, \quad a\neq b, \\ A=-\dfrac{(b-a)\pi}{12\log\{\sqrt{ab+1}-\sqrt{ab}\}}. \end{gathered} \]