Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen. (Q1830830)

Schon lange kennt man in den den Kongruenzgruppen der Modulgruppe zugeordneten automorphen Funktionen solche gebrochener Dimension. Der Verf. unternimmt es, die Theorie solcher Funktionen einer ganz allgemeinen Dimension zu entwickeln, unter Zugrundelegung einer \textit{Fuchs}schen Gruppe \(\Gamma\) von linearen Substitutionen. Dabei heißt \(f(t)\) eine automorphe Funktion \((- r)\)-ter Dimension, wenn sie für jede Substitution \(L\) der betreffenden Gruppe \(\Gamma\) eine Relation befriedigt: \[ f(Lt)=v(L)(\gamma t+\delta)^rf(t),\quad \begin{pmatrix} \alpha&\beta\\ \gamma&\delta \end{pmatrix},\;\alpha\delta-\beta\gamma=1, \] wo \(v (L)\) nur von \(L\) abhängt, und der Zweig der Funktion \((\gamma t+\delta)^r\) für beliebige reelle \(\gamma\), \(\delta\) ein für allemal festgelegt ist. Im ersten Paragraphen wird der Begriff der automorphen Funktion einer Gruppe \((- r)\)-ter Dimension für beliebiges komplexes \(r\) in der üblichen Weise definiert, und zwar in \textit{inhomogener} Form. Die Gesetze, denen die Multiplikatoren \(v (L)\) genügen, werden genau entwickelt, und es wird gezeigt, daß sich dieselben, ohne Kenntnis der automorphen Funktion selbst, aus einer Kompositionsrelation algebraisch entwickeln lassen. Im zweiten Paragraphen werden für den Fall, daß \(\Gamma\) einen parabolischen Eckpunkt besitzt, automorphe Funktionen in der Form aufgestellt: \[ G_{-r}(t;v;A,\Gamma;F)=\sum_{M\subset S(A;\Gamma)} \frac{e^{2\pi i\frac{Mt}\vartheta\varkappa(s)}F\left(e^{2\pi i\frac{Mt}\vartheta}\right)} {v(M)(m_1t+m_2)^r},\;r>2, \] wo \(S (A; \Gamma)\) ein vom parabolischen Punkt (Fixpunkt \(s\)) abhängiges Teilsystem von \(\Gamma\) ist, \(F (t)\) eine bis auf endlich viele Pole im Innern und überall auf dem Rande des Einheitskreises reguläre analytische Funktion von \(t\), und \(|v (M) | = 1\) ist. \(G_{-r}\) existiert dann in der ganzen oberen Halbebene. Im dritten Paragraphen werden die Multiplikatorsysteme \(v (L)\) aufgestellt. Die beiden letzten Paragraphen endlich zeigen, daß unter der Voraussetzung, \(\Gamma\) werde durch endlich viele Erzeugende gegeben, jede automorphe Funktion der Dimension \(- r< -2\), deren Multiplikatorsystem der Bedingung \(|v(L)|=1\) genügt, durch die Reihen \(G_{-r}\) dargestellt werden kann. Das entscheidende Hilfsmittel geben die \textit{Ritter}schen Arbeiten über multiplikative Formen auf algebraischen Gebilden.