Über die Entwicklungskoeffizienten der ganzen Modulformen und ihre Bedeutung für die Zahlentheorie. (Q1830831)

Diese Arbeit schließt sich eng an die vorstellend besprochene Arbeit an. Nur legt sie von Anfang an eine Untergruppe der Modulgruppe zugrunde. Zunächst wird bewiesen, daß die Funktion: \[ \vartheta(t)=\sum_{m_i\equiv\alpha_i(\gamma_i)} e^{2\pi it\frac{Q(m_1,\dots,m_k)}g+2\pi iL(m_1,\dots,m_k)}, \] wobei \(Q\) eine definite quadratische, \(L\) eine lineare Form mit rationalen Koeffizienten ist, eine ganze Modulform \((-\frac12k)\)-ter Dimension ist. Hierauf entwickelt der Verf. die frühere Theorie (für \(r > 2\) und eine Untergruppe \(\varGamma_0\) der Modulgruppe mit parabolischem Eckpunkt) an der Modulform: \[ E(t)=\sum_{(M)}\frac1{\lambda(M)(m_1t+m_2)^r} \] und betrachtet die Koeffizienten der \textit{Fourier}entwicklung dieser Funktion. Er erhält so asymptotische Formeln für dieselben, sowie für deren summatorische Funktion. Wird \(\varGamma_0\) die Kongruenzgruppe \(N\)-ter Stufe, \(r = 2\), \(v (L) \equiv 1\), so konvergiert die Reihe \(E\) nur noch bedingt. Man kommt dann auf die \textit{Eisenstein}reihen von \textit{Hecke} und erhält für die \textit{Fourier}koeffizenten Identitäten, die wieder abgeschätzt werden können. Setzt man \(r=\frac12k > 2\), \(k\) eine ungerade ganze Zahl, so erhält man aus der allgemeinen Theorie Aussagen über die Darstellung einer natürlichen Zahl durch eine definite quadratische Form.