Sur la transformation des fonctions automorphes de plusieurs variables. (Q1830832)

Gegeben seien \(2n\) unabhängige Funktionen \(F_i(Y_1,\dots, Y_n)\), \(f_i(y_1,\dots,y_n)\) (\(i=1\),\dots,\(n\)), die den hyperfuchsschen Gruppen \(G_F\) bzw. \(G_f\) der Variablen \(Y_1\),\dots,\(Y_n\) bzw. \(y_1\),\dots, \(y_n\) angehören. In Verallgemeinerung \textit{Poincaré}scher Ideen stellt Verf. dann die Frage nach denjenigen algebraischen Relationen \[ \varPhi_i(Y_1,\dots, Y_n,y_1,\dots,y_n)=0\qquad\qquad (i = 1,\dots, n), \] die in \(y_1\),\dots, \(y_n\) linear sind und die \(n\) algebraischen Relationen \[ R_i (F_i,f_1,\dots,f_n) = 0 (i=1,\dots,n) \] zur Folge haben. Verf. gibt an, daß, wenn \(G_f\) keine Untergruppe von endlichem Index enthält, die eine Hyperebene des Raumes \((y_1,\dots,y_n)\) invariant läßt, die Relationen \(\varPhi=0\) linear in den Variablen \(Y\) und \(y\) sein müssen. Wenn diese linearen Relationen mit dem Symbol \(( Y) = T (y)\) bezeichnet werden, dann müssen ferner \(G_f\) und \(T^{-1}G_FT\) eine gemeinsame Untergruppe von endlichem Index unter beiden enthalten. Diese Resultate wendet Verf. auf den Spezialfall an, daß \(G_F = G_f\) und \(F_i = f_i\) ist.