Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen. (Q1830853)

Es werden nichtlineare Integralgleichungen von der Gestalt \[ \psi(x) + \int\limits_B K(x,y)f(y, \psi(y))\,dy = 0 \tag{1} \] betrachtet. Dabei ist \(K (x, y)\) ein für alle \(x\), \(y\) in \(B\) gegebener Kern, der brauchbar unstetig im Sinne der linearen Integralgleichungen, symmetrisch und positiv-definit ist, \(f (y, u) \) eine für alle \(y\) in \(B\) und alle reellen Werte von \(u\) erklärte Funktion, \(\psi (x)\) die gesuchte Funktion. Die Untersuchung beschränkt sich auf reelle Lösungen. Der Verf. zeigt die Lösbarkeit von (1) unter folgenden Voraussetzungen: \[ \text{I.}\qquad\quad K (x, y)\;\text{beschränkt in }B; \qquad\qquad\text{II.}\qquad\quad \int\limits_0^u f(x,v)\,dv\geqq - \frac k2 u^2-C_1, \] wo \(k\) und \(C_1\) positive Konstanten sind, und \(k\) kleiner als der kleinste Eigenwert \(\lambda_1\) von \(K (x, y)\) ist. Charakterisiert man die Funktion \(f (x, u)\) durch ihr Verhalten im Unendlichen und beschränkt man sich auf solche Funktionen, die für positiv oder negativ wachsende \(u\) und alle \(x\) in \(B\) entweder beschränkt bleiben oder über alle Grenzen wachsen, so kommt man zu folgenden möglichen Fällen (die Abkürzung D. B. n. b. bedeutet: ``Dem Betrage nach beschränkt''): \[ \halign{\tabskip2pt\vrule width0.8pt #&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\tabskip0pt\vrule width0.8pt #\hfil\cr \noalign{\hrule\hrule} &Verhalten von\vrule height1.9ex width0pt && && && && && && && && && &\cr \noalign{\vskip-0.5\baselineskip} & && 1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6 && 7 && 8 && 9 &\cr \noalign{\vskip-0.5\baselineskip} & \(f(x,u)\) f\"ur\vrule depth0.8ex width0pt && && && && && && && && && &\cr \noalign{\hrule\hrule} & \( u\to-\infty\)\vrule height1.9ex depth0.8ex width0pt && D.\;B.\;n.\;b.&& D.\;B.\;n.\;b.&& D.\;B.\;n.\;b.&& \( +\infty\)&& \(+\infty\)&& \(+\infty\)&& \(-\infty\)&& \(-\infty \)&& \(-\infty\)&\cr \noalign{\hrule} & \( u\to+\infty\)\vrule height1.9ex depth0.8ex width0pt && D.\;B.\;n.\;b.&& \(+\infty\)&& \(-\infty\)&& D.\;B.\;n.\;b.&& \(+\infty \)&& \(-\infty\)&& D.\;B.\;n.\;b.&& \(+\infty\)&& \(-\infty\)&\cr \noalign{\hrule\hrule}} \] Unter den gemachten Voraussetzungen für den Kern gilt: (1) ist in den Fällen 1, 2, 7 und 8 stets lösbar. In den übrigen ist sie nicht immer lösbar. (1) ist auch lösbar, wenn man die Beschränktheit des Kernes nicht voraussetzt, für die Funktion \(f (x, u)\) aber noch \(| f (x, u) | \leqq C_2 | u | + C_3\) verlangt, wobei \(C_2\), \(C_3\) Konstanten bedeuten. Wird \(K (x, y) \geqq 0\) angenommen, so genügt es, daß \(f (x, u)\) stetig ist und einer der folgenden vier Voraussetzungen genügt: \[ \vbox{\halign{\tabskip2pt\vrule width0.8pt #&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\tabskip0pt\vrule width0.8pt #\hfil\cr \noalign{\hrule\hrule} &\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && I && oder II &\cr \noalign{\hrule} & F\"ur \(u\leqq0\) sei\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && \(0\leqq f(x,u)\leqq C_4|u|+C_5\) && --- &\cr \noalign{\hrule} & F\"ur \(u\geqq0\) sei\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && --- && \(0\geqq f(x,u)\geqq -C_4u-C_5\) &\cr \noalign{\hrule\hrule}}} \] \[ \vbox{\halign{\tabskip2pt\vrule width0.8pt #&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\vrule#\hfil&\hfil#\hfil &\tabskip0pt\vrule width0.8pt #\hfil\cr \noalign{\hrule\hrule} &\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && oder III && oder IV &\cr \noalign{\hrule} & F\"ur \(u\leqq0\) sei\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && \(-C_6\leqq f(x,u)\leqq C_4|u|+C_5\) && \(C_6\geqq f(x,u)\) &\cr \noalign{\hrule} & F\"ur \(u\geqq0\) sei\vrule height2.1ex depth1.0ex width0pt && \(-C_6\leqq f(x,u)\) && \(C_6\geqq f(x,u)\geqq -C_4u-C_5\) &\cr \noalign{\hrule\hrule}}} \] Dabei sind \(C_4\), \(C_5\), \(C_6\) Konstanten, und es ist \(0 < C_4 <\lambda_1\). Unter der Voraussetzung, daß der Kern die am Rande verschwindende \textit{Green}sche Funktion ist, wird als Anwendung ein sehr allgemeiner Existenzsatz für die Lösungen der Randwertaufgabe \[ L(u) = \frac{\partial}{\partial x}(pu_x)+ \frac{\partial}{\partial\xi}(pu_\xi)=f\bigl(x,\xi, u(x,\xi)\bigr),\quad p(x,\xi)\geqq0\;\text{in}\;B, \tag{2} \] die am Rande des Bereiches \(B\) vorgegebene stetige Werte annehmen, bewiesen. Dieser Satz sichert die Lösbarkeit der Randwertaufgabe (2) in den Fällen 1, 2, 7 und 8. Der zweite Abschnitt der Arbeit behandelt Eindeutigkeitsfragen: 1. Ist \(f (x, u)\) bei festem \(x\) in \(B\) monoton nicht abnehmend in \(u\), so hat (1) höchstens eine Lösung. 2. Genügt für \(x\) in \(B\) und alle \(u\) die stetige Ableitung von \(f(x,u)\) der Bedingung \(\left|\dfrac{\partial f(x,u)}{\partial u}\right|\leqq\alpha\) (\(\alpha<\lambda_1\)), so hat (1) genau eine Lösung. 3. Notwendig dafür, daß (1) neben \(\psi(x)\) keine weitere Lösung hat, ist, daß kein Eigenwert des Kerns \(K(x,y) \cdot \dfrac{\partial f\bigl(x,\psi(x)\bigr)}{\partial u}\) in das Intervall \(\langle -1, 0\rangle\) hineinfällt. Der dritte Abschnitt handelt von der mit einem Parameter \(\lambda\) versehenen Gleichung \[ \psi(x)+ \lambda \int\limits_B K(x, y)f\bigl(y, \psi(y)\bigr)\,dy = 0 \tag{3} \] und gibt einige Sätze über die Lösungsanzahlen in Abhängigkeit von \(\lambda\). Als Beispiel hierzu wird die Gleichung der erzwungenen Pendelschwingung betrachtet. Die Existenzsätze des ersten Abschnittes beruhen auf der Zurückführung auf ein nichtlineares Gleichungssystem in abzählbar vielen Unbekannten, das vermöge einer endlichen Extremumsaufgabe als lösbar erkannt wird. Der dritte Abschnitt schließt sich eng an die \textit{E. Schmidt}sche Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen an.