Generalized differentiation. (Q1830865)

Es handelt sich darum, den Operator \(f(D)\), wo \(D =\dfrac{d}{dx}\), für gewisse Funktionsklassen \(f\) zu definieren. Es geschieht das auf dem von \textit{Grünwald} (Zeitschrift für Mathematik und Physik 12 (1867), 441-480) vorgezeichneten Weg, der an die Definition von \(D^n\) (\(n\) positiv ganz) vermittels des \(n\)-ten Differenzenquotienten anknüpft. Mit Hilfe des Operators \[ E^m\varphi(x) = \varphi(x + m) \] kann man schreiben: \[ \begin{aligned} D^n\varphi(x)&{}=\lim_{\varDelta x\to0} \frac{\varphi(x) - \binom n1\varphi(x-\varDelta x) + \binom n2\varphi(x-2\varDelta x) + \cdots +(-1)^n \varphi(x-n\varDelta x)} {\varDelta x^n} \\ &{}=\lim_{\varDelta x\to 0} \left(\frac{1-E^{-\varDelta x}}{\varDelta x} \right)^n \varphi(x). \end{aligned} \] Ist nun \(f\) entlang der reellen Achse analytisch, so liegt es nahe, zu definieren: \[ f (D) \varphi (x) = \lim_{\varDelta x\to 0} f \left(\frac{1-E^{-\varDelta x}}{\varDelta x}\right) \varphi(x), \] wobei \(f\left(\dfrac1{\varDelta x} -\dfrac{E^{-\varDelta x}}{\varDelta x}\right)\) in die Taylorsche Reihe mit dem Mittelpunkt \(\dfrac1{\varDelta x}\) und dem Inkrement \(-\dfrac{E^{-\varDelta x}}{\varDelta x}\) zu entwickeln und gliedweise auf \(\varphi(x)\) anzuwenden ist. Da im Falle \(f (D) \equiv D^{-1}\) diese Definition zu \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^x \varphi(x)\,dx\) führt, so wird auch im allgemeinen Fall -- bei gleichzeitigem Ersatz des \(x\) in der Reihe, d. h. hier der oberen Grenze, durch \(X\) -- der Operator mit \(\bigl\{f(D)\bigr\}_{-\infty}^X \varphi(x)\) bezeichnet. Bricht man bei \(f \equiv D^{-1}\) die Reihe mit dem \(f^{(p)}\left(\frac1{\varDelta x}\right)\) enthaltenden Glied ab, wo \(p\) die größte ganze Zahl unter \(\dfrac{X-x_0}{\varDelta x}\) ist (\(X\) ist die in die Reihe statt \(x\) einzutragende Zahl, \(x_0\) irgend eine kleinere), so erhält man \(\displaystyle\int\limits_{x_0}^X \varphi(x)\, dx\). Daher wird im allgemeinen Fall ebenfalls vermittels der abgebrochenen Reihe ein zweiter Operator definiert und mit \(\bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x)\) bezeichnet. Es ist also \(\left(p = \text{größte ganze Zahl unter } \dfrac{X-x_0}{\varDelta x}\right)\): \[ \bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x) =\lim_{\varDelta x\to 0} \sum_{r=0}^p A[f] (r,\varDelta x) \varphi(X-r\varDelta x)\varDelta x \] mit \[ A[f](r,\varDelta x) =\dfrac{(-1)^r f^{(r)}\left(\frac1{\varDelta x}\right)}{r!\, \varDelta x^{r+1}}\,. \] Die meisten Aussagen der Arbeit beziehen sich auf Funktionen \(f\) vom \textit{Typus} 0, die so charakterisiert sind: (a) \(f (z)\) ist analytisch in einem Sektor von der Öffnung \(>\pi\) mit der positiv reellen Achse als Winkelhalbierenden; (b) zu jedem noch so kleinen \(\varkappa > 0\) gibt es ein \(K > 0\), so daß \[ | f (z)| \leqq Ke^{\varkappa |z|} \] in dem Sektor ist. Für solche \(f\) strebt der oben definierte Operator \(A[f](r,\varDelta x)\) einem Grenzwert \(A[f](t)\) zu, wenn \(\varDelta x\to0\), \(r\to\infty\) so, daß \(r\varDelta x\to t >0\), und zwar ist \[ A[f](t) = \frac1{2\pi i} \int\limits_C e^{tz} f(z)\,dz, \] wo \(C\) aus zwei in dem Sektor verlaufenden, zu seinen Schenkeln parallelen Strahlen besteht. Wenn für eine Funktion \(f\) dieser Operator \(A[f] (t)\) in \(0\leqq t\leqq X-x_0\) existiert und \(\varphi\) in \(x_0\leqq x \leqq X\) stetig ist, so gilt: \[ \bigl\{f (D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi (x) = \int\limits_{x_0}^X A[ f] (X -x) \varphi (x)\, dx. \] Eine Unterklasse der Operatoren \(f (D)\) vom Typus 0 sind die von \textit{endlicher Ordnung}. Ein Operator \(f(D)\) heißt von der Ordnung \(\varrho\geqq 0\) (\(\varrho\) ganzzahlig), wenn statt der obigen Bedingung (b) folgendes gilt: Es gibt ein \(\varepsilon > 0\) und ein \(K > 0\), sodaß \[ |f(z)|\leqq K|z|^{\varrho-\varepsilon} \] ist für jedes \(z\) in dem Sektor mit \(| z | > \delta > 0\). Wenn \(f (D)\) von der Ordnung \(\varrho\) ist, und wenn \(\varphi(x)\) in \(x_0 \leqq x\leqq X\) stetig ist und in einer linken Nachbarschaft von \(X\) eine stetige \(\varrho\)-te Ableitung besitzt, so existiert \(\bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x)\), und wenn \(x_1\) ein Punkt jener Nachbarschaft ist, so gilt: \[ \begin{multlined} \bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x) =\int\limits_{x_1}^X A[u^{-\varrho} f(u)] (X-x)\varphi^{(\varrho)}(x)\,dx \\ {}+\sum_{\mu=0}^{\varrho-1} A[u^{-\mu-1}f(u)] (X-x_1) \varphi^{(\mu)}(x_1) +\int\limits_{x_0}^{x_1} A[f] (X-x)\varphi(x)\,dx. \end{multlined} \] Für Operatoren vom Typus 0 werden Existenztheoreme abgeleitet für den Fall, daß der Operand \(\varphi (x)\) in der Nähe von \(X\) analytisch ist. Unter gewissen Voraussetzungen gelten die den Differentiationsgesetzen analogen Regeln: \[ \begin{gathered} \frac{d}{dX}\bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x)= \bigl\{Df(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x), \\ \bigl\{f_1(D)\bigr\}_{x_0}^X\bigl\{f_2(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(\xi)= \bigl\{f_1(D)f_2(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x), \\ \bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X\psi(x)\varphi(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{\psi^{(n)}(X)}{n!} \bigl\{f^{(n)}(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x). \end{gathered} \] Sodann wird der Operator \(\bigl\{f(D)\bigr\}_{-\infty}^X\) behandelt, der in manchen Fällen als Grenzfall für \(x_0\to-\infty\) betrachtet werden kann. Zum Schluß werden noch die Operatoren \(f (D)\) untersucht, bei denen \(f\) eine \textit{Laplace}-Transformierte ist: \[ f(\zeta)=\int\limits_0^\infty \psi(t)e^{-\zeta t}\,dt. \] Zunächst wird diese Transformation in neuer Weise umgekehrt: Es ist nämlich (was nach dem oben gefundenen Integral für \(A [f](t)\), das formal mit der bekannten Umkehrung der \textit{Laplace}-Transformation übereinstimmt, zu erwarten ist) bei stetigem \(\psi\) für \(t > 0\): \[ \psi(t)=A[f](t) =\lim_{r\varDelta x\to t} \frac{(-1)^rf^{(r)}\left(\frac1{\varDelta x}\right)} {r!\,\varDelta_x^{r+1}}\,. \] Dann wird gezeigt, daß für ein derartiges \(f\) bei stetigem \(\varphi\) \[ \bigl\{f(D)\bigr\}_{x_0}^X \varphi(x) =\int\limits_{x_0}^X \psi(X-x)\varphi(x)\,dx \] ist, wenn entweder das eventuell uneigentliche Integral \(\displaystyle\int\limits_0^h \psi(t)\, dt\) absolut konvergent ist oder \(\varphi\) eine endliche totale Variation in der linken Nachbarschaft von \(X\) hat. (Die am Schluß der Arbeit aufgezeigte Schwierigkeit bei dem Operator \(A\left[e^{-aD}\right](t)\) ist vom Referenten (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 492-493) durch Einführung von \textit{Stieltjes}-Integralen überwunden worden.)