Über die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen. (Q1830872)

Von \textit{S. Banach} wurde 1929 (F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 240-241) als Folgerung aus anderen Sätzen das Theorem gewonnen: Es seien \(V\) und \(V^\prime\) zwei lineare, normierte, vollständige Räume. Wenn dann die lineare, stetige Funktionaloperation \(y= F (x)\) den ganzen Raum \(V\) auf den ganzen Raum \(V^\prime\) eineindeutig abbildet, so ist auch ihre Umkehrung \(x = F^{-1}(y)\) stetig. Für diesen Satz wird ein direkter Beweis geliefert, der es gestattet, folgende Verallgemeinerung auszusprechen: \textit{Satz von der Gebietsinvarianz}: Wenn die lineare, stetige Funktionaloperation \(y =F (x)\) eine eindeutige (aber nicht notwendig eineindeutige) Abbildung des linearen, normierten, vollständigen \(x\)-Raumes auf einen ebensolchen \(y\)-Raum liefert, und wenn dabei die beiden Räume erschöpft werden, so geht jedes \(x\)-Gebiet in ein \(y\)-Gebiet über.