The first variation of a functional. (Q1830891)

Es werden hinreichende Bedingungen angegeben dafür, daß die erste Variation eines Funktionals sich durch ein \textit{Stieltjes}sches oder \textit{Lebesgue}sche Integral ausdrücken läßt. Es handelt sich um ein Funktional \(F[f(\underset{a}{\overset{b}{x}})]\), das für stetige Funktionen in dem Gebiet \[ \varPhi_1(x) < f(x) < \varPhi_2(x), \quad a \leqq x \leqq b \] definiert ist. Es werden folgende Bedingungen ins Auge gefaßt: (I) \ Es gibt ein \(M_1\), so daß \[ |F[f_1] - F[f_2]| \leqq M_1 \cdot \text{ Max } |f_1 - f_2|. \] (II) \ Die erste Variation \[ D[f_1, \varphi] = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{F[f_1 + \varepsilon \varphi] - F[f_1]}{\varepsilon} \] existiert gleichmäßig für alle \(f_1\) wo \(\varphi\) eine willkürliche stetige Funktion ist. (III) \ Ea gibt ein \(M\), so daß \[ |F[f_1] - F[f_2]| \leqq M\int_a^b |f_1(x) - f_2(x)| \, dx. \] \textit{Satz 1}. Unter den Bedingungen (I), (II) kann die Variation als \textit{Stieltjes}sches Integral \[ D[f, \varphi] = \int_a^b \varphi(x) \, d \alpha_f(x) \tag{*} \] geschrieben werden, wo \(\alpha_f\) von beschränkter Variation und für ein bestimmtes \(f\) von \(\varphi\) unabhängig ist. \textit{Satz 2}. Unter den Bedingungen (II), (III) kann die Variation als \textit{Lebesgue}sche Integral \[ D(f, \varphi) = \int_a^b \varphi(x)\beta_f(x) \, dx \tag{**} \] geschrieben werden, wo \(\beta_f\) \textit{Lebesgue}-integrabel und für ein bestimmtes \(f\) von \(\varphi\) unabhängig ist. \textit{Satz 3}. Wenn die Variation die Form (*) hat, und die Bedingung (III) mit \(f_2 = f\) erfüllt ist, so kann die Variation auch in der Form (**) geschrieben werden. \textit{Satz 4}. Wenn \(F[f_1]\) in der Nachbarschaft der speziellen Funktion \(f\) stetig ist, \(D[f_1, \varphi]\) in der Nachbarschaft von \(f\) bei beliebigem \(\varphi\) existiert und \(D[f_1, \varphi]\) stetig in \(f_1\) an der Stelle \(f_1 = f\) bei beliebigem, aber fest gewähltem \(\varphi\) ist, so gilt (*); besteht außerdem die Bedingung (III) mit \(f_2 = f\), so gilt auch (**). (IV 15.)