Die kanonische Parametergruppe. (Q1830928)

Diese Arbeit, die bekannte Sätze der Theorie der kontinuierlichen Gruppen übersichtlich zusammen- und in ihrer Bedeutung und Verknüpfung einander gegenüberstellt, zeichnet sich äußerlich durch zweckmäßige Anwendung moderner Schreibweisen (``Vektoren'', lineare Substitutionen, lim usw.) aus. Zunächst werden exp und log für Matrizen erklärt, die üblichen Beziehungen \[ \exp\log (E + A) = E + A \;\text{ für ``kleine'' } \;A; \det\exp A = \exp \text{ Spur } A \] hergeleitet und die kanonischen Veränderlichen gewonnen. Die adjungierte Gruppe schreibt Verf. als die Gruppe der linearen Substitutionen \[ Y(\mathfrak a) = V(\mathfrak a) U(-\mathfrak a) \] mit \[ \mathfrak a \cdot d\mathfrak b = \mathfrak a + U(\mathfrak a) \, d\mathfrak b, \quad \mathfrak a + d\mathfrak b = \mathfrak a V(\mathfrak a) \, d\mathfrak b, \quad V = U^{-1}; \] \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) Punkte des Parameterraums. Indem er \((s\mathfrak a + sd\mathfrak b) \;\;(t\mathfrak a + td\mathfrak b)\) auf zwei verschiedene Arten aufschreibt, gewinnt Verf. eine Differentialgleichung für \(V(s\mathfrak a)\) und daraus die Entwicklung von \(U(\mathfrak a)\) nach Potenzen von log \(Y\), also die Darstellung durch die Strukturkonstanten, die ihrerseits als Tensor durch \[ (d\mathfrak b \;d\mathfrak a - d\mathfrak a \;d\mathfrak b)^\varrho = \mathfrak c_{\sigma \tau}^\varrho d\mathfrak a^\sigma \, d\mathfrak b^\tau \] erklärt werden.